追加抚养费的法律依据确实存在，且在特定情形下，人民法院将予以支持。这一权利主要依据《中华人民共和国民法典》及《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》的相关规定。以下是对这一问题的详细分析：
一、实体法依据
《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条：
- 该条款明确规定，离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。
- 同时，该条款还强调，前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。这体现了法律对子女权益的特别保护，确保子女在成长过程中能够获得足够的经济支持。
《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第五十八条：
- 该条款详细列举了子女要求增加抚养费的三种情形：
- 原定抚养费数额不足以维持当地实际生活水平：随着物价上涨和生活成本提高，原定的抚养费可能无法满足子女的基本生活需求。例如，原本每月800元的抚养费在几年后可能因物价上涨而难以维持正常生活，此时子女有权要求增加。
- 因子女患病、上学等实际需要已超过原定数额：如子女患重大疾病需高额医疗费用，或进入收费较高的学校学习，原定的抚养费无法覆盖这些额外支出时，子女可要求增加抚养费。
- 有其他正当理由应当增加：此条款作为兜底，涵盖了其他可能导致子女需要更多抚养费的复杂情况，如直接抚养方经济状况恶化或子女因发展兴趣爱好产生额外费用等。
二、程序法依据
- 《中华人民共和国民事诉讼法》：该法规定了追讨追加抚养费的具体程序。当子女或直接抚养方认为需要增加抚养费时，可向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。法院将根据相关法律规定和实际情况进行审理，并依法作出公正裁决。
三、实际操作建议
- 协商优先：在诉诸法律之前，建议双方首先进行友好协商，这不仅有助于维护家庭关系的和谐，也可能更快速地达成解决方案。如果协商成功，可以签订补充协议明确新金额及支付方式。
- 准备证据：若协商不成，决定通过法律途径解决时，必须准备充分的证据来证明增加抚养费的必要性。例如，生活费用清单、医疗费用发票、学校收费通知等，这些证据将有助于法院更准确地判断子女的实际需求和支付方的负担能力。
- 申请强制执行：如果法院判决支持增加抚养费，但对方拒不履行，可以申请强制执行。法院将通过冻结账户、扣押财产等方式确保抚养费的落实。
四、典型案例参考
- 案例一：某夫妻离婚后，子女由女方直接抚养，男方每月支付抚养费800元。几年后，因物价上涨和子女教育费用增加，女方申请增加抚养费。法院审理后认为，原定抚养费已不足以维持当地实际生活水平，遂判决男方每月增加抚养费至1500元。
- 案例二：另一案例中，子女因患重大疾病需要高额医疗费用，原定抚养费无法覆盖。法院根据实际情况判决非抚养方增加抚养费，以支持子女的治疗和康复。
综上所述，追加抚养费具有明确的法律依据和实际操作流程。当子女或直接抚养方认为存在法定情形时，可以依法向人民法院提出增加抚养费的请求。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。