卖淫被抓后，公安机关在决定给予行政拘留处罚的情况下，通常会及时通知被处罚人的家属。这一做法主要基于以下几点法律和实际操作的考量：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第九十七条的规定，公安机关在决定给予行政拘留处罚后，应当及时通知被处罚人的家属。这一规定旨在保障家属的知情权，让家属知晓当事人的情况，避免其因不了解而产生不必要的担忧和焦虑。

2. 通知时间与方式：

   • 时间：在决定给予行政拘留处罚后，公安机关通常会在24小时内通知家属。若案情复杂或存在其他特殊情况，如无法当场交付书面通知，公安机关也会在作出决定后的合理时间内，通过其他可靠且有效的方式通知家属。
   • 方式：通知方式可以是书面的，如邮寄或当面送达通知书；也可以是口头的，如通过电话、短信等。具体采用何种方式，会根据实际情况和家属的联系方式来确定，以确保通知的有效性。

3. 通知内容：

   • 通知内容通常包括被处罚人的姓名、违法行为、处罚依据、执行拘留的期限以及拘留地点等详细信息。这些信息有助于家属全面了解被处罚人的现状，并作出相应的应对。

4. 特殊情况下的处理：

   • 如果卖淫行为仅受到罚款处罚而没有被拘留，公安机关一般不会通知家属。
   • 存在特殊情况，如无法通知家属（例如家属联系方式不明或家属不在国内等）或涉及危害国家安全、恐怖活动犯罪等可能妨碍侦查的情形，公安机关可能会暂时不通知家属。但这并不改变一般情况下应通知家属的法律原则，且在这些特殊情况下，公安机关必须在相关决定书中明确注明未通知家属的原因。

5. 家属的权益：

   • 家属在接到通知后，有权了解被拘留人的具体情况，包括拘留的原因、地点以及拘留期限等。公安机关应当提供必要的信息和帮助，确保家属的知情权得到保障。
   • 家属还有权探视被拘留人，以了解其近况并提供必要的支持和帮助。具体的探视时间和方式需遵守拘留所的相关规定，公安机关应给予必要的指导和协助。

总结与建议： 卖淫是违法行为，不仅会受到法律的制裁，还会对个人和家庭带来严重的不良影响。在执法过程中，公安机关会依法依规通知被处罚人的家属，并确保家属的合法权益得到充分保障。如果您或您身边的人涉及此类问题，建议积极配合公安机关的工作，并依法行使自己的知情权和探视权。同时，也应当认识到卖淫行为的违法性，自觉遵守法律法规，远离此类违法活动。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。