结论：租客提前退房且表示不要押金的情况下，房东是否可以起诉，取决于双方租赁合同中的具体约定以及租客提前退房给房东造成的实际损失情况。
一、合同约定角度
合同有明确约定：
- 如果租赁合同中明确规定了租客提前退房的违约责任，包括但不限于支付违约金、赔偿损失等，那么房东有权依据合同约定要求租客承担相应的责任。即使租客表示不要押金，如果押金不足以覆盖房东因租客提前退房而遭受的损失，房东仍有权起诉要求租客赔偿剩余损失。
合同无明确约定：
- 如果租赁合同中没有明确规定租客提前退房的违约责任，房东的起诉权将受到一定限制。此时，房东需要证明租客提前退房给自己造成了实际损失，并且这些损失是合理的、可预见的。如果房东能够提供充分证据证明其损失，那么仍然有可能通过法律途径要求租客进行赔偿。
二、实际损失角度
房东存在实际损失：
- 无论合同是否有明确约定，如果租客提前退房给房东造成了实际损失（如重新寻找租客的费用、空置期间的租金损失等），房东都有权要求租客进行赔偿。在这种情况下，即使租客表示不要押金，房东仍然可以起诉要求租客赔偿实际损失。
房东无实际损失或损失较小：
- 如果租客提前退房并未给房东造成实际损失，或者损失较小且房东已经通过押金得到了部分补偿，那么房东起诉租客的必要性将大大降低。在这种情况下，即使房东起诉，法院也可能不会支持其全部或部分诉讼请求。
三、法律建议
审查合同条款：
- 房东在决定是否起诉前，应首先审查租赁合同中的相关条款，了解租客提前退房的违约责任和赔偿方式。
收集证据：
- 如果房东认为租客提前退房给自己造成了实际损失，应尽快收集相关证据（如重新寻找租客的费用发票、空置期间的租金损失计算等），以便在起诉时提供有力支持。
协商解决：
- 在起诉前，房东可以尝试与租客进行协商，看是否能够达成和解协议。如果双方能够就赔偿问题达成一致意见，那么将可以避免不必要的法律纠纷。
寻求法律帮助：
- 如果房东对法律程序不熟悉或无法自行处理纠纷，可以寻求专业律师的帮助。律师将能够提供法律咨询、起草法律文书、代表房东出庭等服务，帮助房东更好地维护自己的合法权益。
举例：假设房东与租客签订的租赁合同中明确规定，租客提前退房需支付一个月租金作为违约金。现在租客提前退房并表示不要押金，但押金仅为半个月租金。此时，房东有权依据合同约定起诉租客要求支付剩余的半个月租金作为违约金。如果合同中没有明确规定违约金数额，但房东能够证明因租客提前退房而遭受了实际损失（如重新寻找租客的费用、空置期间的租金损失等），那么房东仍然可以起诉要求租客进行赔偿。
后续行动建议：如果您作为房东遇到此类情况，建议先与租客进行友好协商，看是否能够达成和解。如果协商无果，您可以考虑寻求专业律师的帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。