针对您提出的私自砍伐800多棵竹子并大量丢弃杂物的情况，您可以要求以下几种赔偿：

1. 竹子损失赔偿：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。私自砍伐他人竹子，显然侵犯了竹子所有者的财产权。
   • 赔偿内容：您可以要求砍伐者赔偿竹子的实际价值，这通常包括竹子的市场价格、种植成本（如种子、肥料、人工等）以及因砍伐导致的未来收益损失（如竹子若未被砍伐，可能带来的经济收益）。
   • 计算方式：竹子的市场价值可以通过当地市场价格或专业评估机构进行评估。种植成本和未来收益损失则可能需要根据具体情况进行估算，必要时可寻求专业人士的帮助。

2. 环境恢复赔偿：

   • 法律依据：砍伐竹子并丢弃杂物可能对环境造成破坏，如土壤侵蚀、水源污染等。根据环境保护相关法律法规，污染者或破坏者应当承担环境修复责任。
   • 赔偿内容：您可以要求砍伐者承担环境恢复的费用，包括清理杂物、恢复土壤、种植新竹等。
   • 计算方式：环境恢复费用通常需要根据实际恢复工作所需的人工、材料、设备等成本进行计算。必要时，可以委托专业环境修复机构进行评估和报价。

3. 精神损害赔偿（如适用）：

   • 法律依据：在某些情况下，如果砍伐行为给您带来了严重的精神痛苦或心理创伤，您可能还有权要求精神损害赔偿。但这一赔偿通常较为严格，需要证明砍伐行为与精神损害之间存在直接的因果关系。
   • 赔偿内容：精神损害赔偿的具体金额通常需要根据您的实际损失、砍伐者的过错程度以及当地司法实践等因素进行综合判断。
   • 注意事项：由于精神损害赔偿的认定和计算较为复杂，建议您在提出此类赔偿要求前，先咨询专业律师的意见。

在提出赔偿要求时，建议您采取以下步骤：

• 收集证据：包括砍伐现场的照片、视频、证人证言等，以证明砍伐行为的存在和造成的损害。
• 评估损失：通过专业机构或自行估算，确定竹子损失、环境恢复费用等具体金额。
• 与砍伐者协商：在掌握充分证据和评估损失的基础上，与砍伐者进行协商，尝试达成赔偿协议。
• 寻求法律帮助：如果协商无果，您可以向当地人民法院提起诉讼，要求砍伐者承担相应的赔偿责任。

最后，需要强调的是，每个案件的具体情况都有所不同，赔偿金额和方式也可能因案件而异。因此，在处理此类纠纷时，建议您务必咨询专业律师的意见，以确保您的权益得到充分保障。如果您有任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。