针对您提出的“未婚生子生父同意把孩子姓改随继父姓的申请书怎么写”这一问题，以下是一份详细的撰写指南及示例，旨在帮助您完成一份正式且有效的姓名变更申请书。

一、撰写指南

1. 明确致函对象：

   • 申请书应明确写明收件单位，如“XX市公安局户籍科”或“XX派出所”，确保申请能够准确送达。

2. 详细列出申请人及孩子信息：

   • 申请人信息：包括全名、性别、身份证号码、详细住址及联系电话。
   • 孩子信息：列出孩子的原名、性别、出生日期、身份证号码（如有）及户籍所在地。

3. 阐述更名原因及理由：

   • 简述与前夫（生父）的情况，以及与现任丈夫（继父）的再婚事实。
   • 强调更名是为了增强家庭成员间的情感联系，促进家庭和谐，以及有利于孩子的身心健康和未来发展。
   • 若孩子已具备表达能力，应提及孩子对更名的态度（同意或无异议）。

4. 家庭成员意见：

   • 明确表示作为孩子的监护人（母亲），完全同意此次更名申请。
   • 指出孩子的生父也完全支持并同意此次更名，可附上生父的书面同意书作为证明。
   • 强调孩子的继父也完全支持并同意此次更名。

5. 承诺与保证：

   • 承诺此次更名申请不存在任何欺骗、隐瞒或违反法律法规的情形。
   • 保证更名后将积极办理相关手续，确保孩子的合法权益不受影响。

6. 列出申请材料清单：

   • 必备材料：包括申请人的身份证原件及复印件、孩子的出生证明原件及复印件、家庭户口簿原件及全部页码的复印件、再婚证明（如结婚证等）原件及复印件、更名申请理由说明信、生父的书面同意书等。
   • 其他材料：根据当地公安机关的具体要求，可能需要提供的其他证明材料。

二、申请书示例

XX市公安局户籍科：

本人XXX（母亲全名），性别X，身份证号码XXXXXXXXXXXXXXXXXX，住址XXXXXXXXXXXXXXXX。现就我未婚所生之子/女XXX（孩子原名）的姓名变更事宜，特向贵科提出申请。

孩子XXX，性别X，出生于XXXX年XX月XX日，身份证号码（如有）XXXXXXXXXXXXXXXXXX，户籍所在地XXXXXXXXXXXXXXXX。因我与孩子生父XXX（生父全名）未婚生育，后我与XXX（继父全名）再婚。为增强家庭成员间的情感联系，促进家庭和谐，以及有利于孩子的身心健康和未来发展，经与孩子生父XXX充分协商并达成一致意见，我们均同意将孩子的姓氏更改为随继父姓，即更名为XXX（孩子新名）。

孩子现已具备一定表达能力，对更名事宜表示同意/无异议。作为孩子的监护人，我完全同意此次更名申请，并承诺此次更名申请不存在任何欺骗、隐瞒或违反法律法规的情形。更名后，我将积极办理相关手续，确保孩子的合法权益不受影响。

现附上以下材料供贵科审核：

1. 本人身份证原件及复印件；
2. 孩子的出生证明原件及复印件；
3. 家庭户口簿原件及全部页码的复印件；
4. 我与继父XXX的再婚证明（结婚证）原件及复印件；
5. 更名申请理由说明信；
6. 孩子生父XXX的书面同意书。

恳请贵科审核并批准此次姓名变更申请。如有需要，我愿随时提供进一步的信息或材料。

此致 敬礼！

申请人（母亲）：XXX 联系电话：XXXXXXXXXXX 日期：XXXX年XX月XX日

三、注意事项

• 法律咨询：在提交申请前，建议咨询当地的户籍管理部门或律师，以确保申请材料的完整性和准确性。
• 格式规范：申请书应使用正式的信函格式，语言表述清晰、准确、礼貌。
• 真实性：所有提供的信息和材料必须真实有效，不得有虚假或隐瞒。

通过遵循上述指南和示例，您可以更有效地撰写出符合法律法规要求的姓名变更申请书，从而提高申请的成功率。同时，也建议您在整个过程中保持与当地公安机关的沟通，及时了解申请进展并积极配合完成所有必要的程序。