在未留有遗嘱的情况下，原配妻子和私生子一般按法定继承规则分配财产，私生子与婚生子女享有同等继承权，原配妻子作为配偶也是第一顺序继承人。具体分析如下：
一、法定继承顺序与份额
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，遗产按照下列顺序继承：
- 第一顺序：配偶、子女、父母；
- 第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
在未留有遗嘱的情况下，遗产由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承。子女包括婚生子女、非婚生子女（即私生子）、养子女和有扶养关系的继子女。因此，私生子与原配妻子均属于第一顺序继承人，享有平等的继承权。
二、具体分配规则
同一顺序继承人继承遗产的份额一般应当均等：
- 根据《民法典》第一千一百三十条，同一顺序继承人继承遗产的份额，一般应当均等。这意味着，在不存在特殊情况下，原配妻子和私生子将平均分配遗产。
特殊情况下的分配规则：
- 对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人，分配遗产时应当予以照顾：如果私生子或原配妻子中有人生活有特殊困难且缺乏劳动能力，法院在分配遗产时可能会给予更多的份额。
- 对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，分配遗产时可以多分：如果原配妻子或私生子中有人对被继承人尽了主要扶养义务，或者与被继承人共同生活，那么在分配遗产时，这部分人可能会获得更多的份额。
- 有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，分配遗产时应当不分或者少分：如果原配妻子或私生子中有人具备扶养能力和条件，但未对被继承人尽扶养义务，那么在分配遗产时，这部分人可能会被不分或者少分。
- 继承人协商同意的，也可以不均等分配：如果原配妻子和私生子能够协商达成一致，也可以不按照均等的原则分配遗产。
三、实际操作建议
- 收集证据：在处理遗产分配问题时，建议收集相关证据，如被继承人的死亡证明、亲属关系证明、财产证明等，以便在需要时提供给法院或相关机构。
- 协商解决：在可能的情况下，建议原配妻子和私生子通过协商解决遗产分配问题，以避免不必要的法律纠纷和家庭矛盾。
- 寻求法律帮助：如果协商无果或存在争议，建议寻求专业律师的法律帮助，以确保自身权益得到妥善保护。
在处理此类问题时，建议保持冷静和理性，通过合法途径解决争议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。