结论前置：针对您公司多付给另一家公司1万元的情况，可以通过友好协商、发送律师函或提起诉讼这三种主要方式来追回款项。以下是具体分析和建议：

1. 友好协商解决
   首先，建议您公司主动与对方公司取得联系，说明多付款项的事实，并提供付款凭证（如银行转账记录、发票等）作为证据。在沟通过程中，保持礼貌和专业，明确要求对方退还多收的1万元。这种方式成本最低、效率最高，尤其适用于双方有长期合作关系或未来可能继续合作的情况。
   操作建议：

   • 书面形式沟通（如邮件或信函），保留沟通记录；
     
   • 明确退款期限（如7个工作日内）；
     
   • 若对方同意退款，可要求其出具书面确认函。

2. 发送律师函催告
   如果友好协商未果，您可以委托律师向对方公司发送正式律师函。律师函会明确指出多付款项的事实、法律依据及要求退款的期限，并警示若不履行可能面临的法律后果（如诉讼）。这种方式通常能对对方形成一定压力，促使其主动退款。
   法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第九百八十五条，得利人没有法律根据取得不当利益的，受损失的人可以请求得利人返还取得的利益。
     操作建议：
     
   • 提供完整的付款证据（合同、转账记录、对账单等）；
     
   • 律师函需由执业律师签署并加盖律师事务所公章。

3. 提起民事诉讼
   若对方仍拒绝退款，您公司可向法院提起不当得利之诉，要求对方返还多收的1万元及可能产生的利息。诉讼是最终保障手段，但需注意时间成本和诉讼费用（如案件受理费、律师费等）。
   诉讼流程：

   • 准备起诉状、证据材料（付款凭证、沟通记录等）；
     
   • 向被告住所地或合同履行地法院提交立案；
     
   • 法院审理后，若支持您的诉求，会判决对方返还款项。
     风险提示：
     
   • 诉讼周期可能较长（一般3-6个月）；
     
   • 若对方无财产可供执行，可能面临执行难问题。

补充建议：

• 未来付款时，建议建立双人复核机制，避免类似错误；
  
• 若涉及跨境支付或复杂交易，可提前在合同中约定“多付款项处理条款”。
  

如有进一步疑问或需要协助起草律师函、诉讼材料，可直接向我咨询。