礼品价值4000元，在一般情况下不构成行贿罪，但存在特殊情形时可能构成。以下从不同角度进行分析：

一、一般情形：不构成行贿罪

根据《刑法》及相关司法解释，行贿罪的立案标准通常要求行贿金额达到3万元以上。在单纯行贿金额为4000元，且不存在其他严重情节的情况下，该金额未达到行贿罪的立案标准，因此一般不构成行贿罪。

二、特殊情形：可能构成行贿罪

尽管4000元的行贿金额未达到通常的立案标准，但若存在以下特殊情形，仍可能构成行贿罪：

1. 多次行贿：如果行为人多次向国家工作人员行贿，即使每次金额不大，但累计金额达到或超过立案标准，或者虽未达到立案标准但情节严重，也可能构成行贿罪。
2. 向多人行贿：向多名国家工作人员行贿，同样可能构成行贿罪，即使每次行贿金额不大。
3. 为谋取不正当利益行贿：如果行为人行贿的目的是为了谋取不正当利益，如通过行贿获取项目、晋升、逃避处罚等，即使金额不大，也可能构成行贿罪。
4. 造成恶劣社会影响：如果行贿行为造成了恶劣的社会影响，如引发公众强烈不满、损害国家形象等，也可能构成行贿罪。

三、法律建议与后果

1. 法律建议：

   • 在任何情况下，都应避免向国家工作人员行贿，以免触犯法律。
   • 如果已经发生了行贿行为，应尽快咨询专业律师，了解可能的法律后果，并寻求合法的解决方案。

2. 可能的法律后果：

   • 如果构成行贿罪，将面临五年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金的刑事处罚。
   • 情节严重的，或者使国家利益遭受重大损失的，将面临五年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。
   • 情节特别严重的，或者使国家利益遭受特别重大损失的，将面临十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。

四、实际案例参考

以某案例为例，小朱为了让自己的孩子能进入某重点学校，给该校负责招生的工作人员小李送了4000元礼品。虽然小朱认为自己只是表达心意，但如果小李是国家工作人员，且小朱存在谋取不正当利益的目的（如通过行贿确保孩子入学），则该行为可能构成行贿罪。尽管金额不大，但若存在其他严重情节，如小朱多次向不同学校的工作人员行贿，或者该行为引发了社会关注，造成了恶劣影响，则更可能被认定为行贿罪。

结论：礼品价值4000元在一般情况下不构成行贿罪，但存在特殊情形时可能构成。因此，在任何情况下都应避免行贿行为，以免触犯法律。如果有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。