关于教师寒暑假是否算作公休假日期的问题，这实际上涉及到对公休假和寒暑假性质的理解。

首先，我们需要明确公休假和寒暑假的定义及性质：

1. 公休假：通常指的是国家法定节假日以及职工依法享受的带薪年休假。这些假期是职工因工作原因而应享有的休息时间，且往往与国家的节假日安排或职工的工作年限相关。

2. 寒暑假：这是针对教师群体的一种特殊假期安排，主要基于教育行业的特性。寒暑假期间，学生放假，教师也因此获得相应的休息时间。但寒暑假的长度和安排往往由教育部门或学校根据教学计划和实际情况来决定。

接下来，我们分析寒暑假是否属于公休假：

• 从性质上看，寒暑假是教师因教育行业特性而享有的特殊假期，并非所有职工都能享受。它不同于国家法定节假日或职工带薪年休假，后者是普遍适用于所有职工的。
• 从法律规定上，虽然《职工带薪年休假条例》规定了职工的带薪年休假权利，但并未将寒暑假纳入其中。同时，该条例也明确指出，国家法定休假日、休息日不计入年休假的假期，这进一步说明了寒暑假与公休假（如带薪年休假）在性质上的区别。
• 在实际操作中，教师寒暑假的休假天数往往多于其应享有的带薪年休假天数。根据《职工带薪年休假条例》的相关规定，如果职工依法享受的寒暑假天数多于其年休假天数，那么该职工当年就不再享受年休假。这也从侧面说明了寒暑假与公休假在休假权益上的不重叠性。

综上所述，教师的寒暑假并不算作公休假日期。寒暑假是教师因教育行业特性而享有的特殊假期，与公休假（如国家法定节假日、职工带薪年休假）在性质、法律规定和实际操作上均存在明显区别。