当被申请人（即被执行人）在执行程序中死亡时，执行程序并不会因此而自动终止，而是可以通过一定的法律程序继续推进。以下是对这一问题的详细解答：

一、执行程序的继续方式

1. 申请变更被执行人：

   • 申请执行人可以向执行法院提交书面申请，请求变更、追加被执行人的继承人为新的被执行人。
   • 法院在收到申请后，会进行审查，确认被执行人的死亡事实以及继承人的身份。

2. 法院审查与裁定：

   • 如果被执行人的继承人未放弃继承权，法院将裁定变更继承人为被执行人，并继续执行程序。
   • 如果继承人均放弃继承权，法院将直接执行被执行人的遗产。此时，继承人需配合提供相关证据，以确认遗产的存在及范围。
   • 如果被执行人无遗产且无义务承担人，法院将裁定终结执行。

3. 债务清偿规则：

   • 如果遗产不足以清偿债务，法院将裁定终结执行程序，继承人无需以个人财产偿还超出遗产价值的债务。
   • 如果遗产足够清偿债务，法院可以采取查封、扣押、拍卖等执行措施，以所得款项清偿债务。

二、继承人的权利与义务

1. 责任限制：

   • 继承人仅在继承遗产的价值范围内承担债务清偿责任，超出部分无需偿还。

2. 救济权利：

   • 提出执行异议：如果继承人认为法院的执行行为或执行措施违法，或者认为原判决、裁定错误，可以向执行法院提出书面执行异议。
   • 提起审判监督程序：如果继承人对驳回执行异议的裁定不服，可以向作出生效判决的上级人民法院申请再审，或者向原审法院申请再审（双方均为公民的情况下）。
   • 申请检察监督：如果再审申请被驳回或法院逾期未裁定，继承人可以向检察院申请检察建议或抗诉。
   • 执行回转与赔偿：如果原判决最终被撤销或改判，已执行的财产可以通过执行回转程序返还。如果错误执行造成损失，继承人可以依据《国家赔偿法》申请赔偿。

三、实际操作建议

• 收集证据：申请执行人需要初步证明遗产的存在，而继承人则需要配合提供遗产的相关材料。
• 及时申请：在得知被执行人死亡后，申请执行人应及时向法院提交变更被执行人的申请，以避免执行程序的延误。
• 行使权利：作为继承人，在执行程序终结前应及时行使自己的权利，如提出执行异议、申请再审等。

综上所述，当被申请人死亡时，执行程序可以通过变更被执行人为其继承人来继续推进。同时，继承人也享有一定的救济权利，以保护自己的合法权益。在处理此类案件时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律指导。