关于未支付律师代理费时何时开具发票的问题，这主要涉及到律师服务收费的管理与发票开具的规范流程。以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，律师代理费的支付与发票的开具通常是在律师完成委托事项或达到合同约定的支付节点后进行的。但在实际操作中，关于发票的开具时间，可能会因律师事务所的内部规定、合同条款的具体约定以及当地税务部门的要求而有所不同。
一般原则：
预收办案费：如果律师事务所在接受委托时预收了办案费，根据相关规定，预收办案费时必须出具书面确认单据。但这并不等同于正式的发票，而是作为预收款项的凭证。
委托事项办结后：在大多数情况下，律师完成委托事项后，会与委托人进行结算。此时，律师事务所会根据实际发生的费用（包括律师代理费）开具正式的税务发票。
合同约定：如果委托合同中明确约定了发票的开具时间（如分期支付代理费时每期支付后开具相应发票），则应按照合同约定执行。
特殊情况：
风险代理：对于实行风险代理的案件，由于代理费与案件结果挂钩，因此发票的开具时间可能会更晚，通常是在案件胜诉或达到合同约定的支付条件后。但需注意，风险代理收费有严格的限制条件，如不得用于刑事诉讼案件、行政诉讼案件等。
法律援助案件：对于法律援助案件，由于不得向受援人收取任何费用，因此也不存在开具发票的问题。
建议：
查阅合同：首先，建议您查阅与律师事务所签订的委托合同，看其中是否有关于发票开具时间的明确约定。
与律师事务所沟通：如果合同中没有明确约定，或者您对合同条款有疑问，建议您直接与律师事务所沟通，了解其内部规定和发票开具的具体流程。
遵守税务规定：无论何时开具发票，都应确保符合当地税务部门的规定和要求，避免出现税务违规问题。
综上所述，未支付律师代理费时何时开具发票并没有一个固定的答案，而是需要根据具体情况（如合同约定、律师事务所规定、税务部门要求等）来确定。希望以上解答能对您有所帮助。