结论：在顾客去世后，您一般不能直接向其家人追讨这笔赊账，但可以通过合法途径向顾客的遗产主张权利。

分析如下：

1. 债务承担原则：

   • 根据一般的法律原则，债务是专属于债务人个人的义务，通常不会因其去世而自动转移给其家人。除非家人明确表示愿意承担这笔债务，或者根据法律规定（如共同债务、继承债务等）需要承担，否则家人没有法律义务偿还这笔赊账。

2. 遗产继承与债务清偿：

   • 如果顾客去世后留有遗产，根据《中华人民共和国民法典》中关于继承的规定，继承人在继承遗产的同时，也需要在遗产实际价值范围内清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。这意味着，如果您能证明这笔赊账是顾客生前的合法债务，且其遗产足以清偿，那么您可以通过法律途径向顾客的遗产主张权利。
   • 具体操作上，您可能需要先通过法律程序确认顾客的遗产范围，然后向遗产管理人或继承人提出清偿债务的请求。如果继承人拒绝清偿，您可能需要通过诉讼等法律手段来维护自己的权益。

3. 实际操作建议：

   • 收集证据：首先，您需要收集能够证明这笔赊账存在的证据，如购物合同、欠条、交易记录等。这些证据将对您后续主张权利至关重要。
   • 与家人沟通：在采取法律行动之前，您可以尝试与顾客的家人进行沟通，了解他们是否愿意承担这笔债务，或者是否了解顾客的遗产情况。有时候，通过友好的沟通可以达成和解，避免不必要的法律纠纷。
   • 寻求法律帮助：如果沟通无果，或者您不确定如何操作，建议您寻求专业律师的帮助。律师可以为您提供法律咨询，帮助您制定合适的策略，并代表您进行法律诉讼。

4. 注意事项：

   • 在追讨债务的过程中，您需要遵守法律程序，不得采取非法手段进行逼债或骚扰。否则，您可能会面临法律责任。
   • 同时，您也需要关注债务的诉讼时效问题。根据法律规定，债权债务关系有一定的诉讼时效期限，超过这个期限后，您可能无法再通过法律途径追讨债务。

总结与建议： 在顾客去世后，您不能直接向其家人追讨赊账，但可以通过合法途径向顾客的遗产主张权利。建议您先收集证据，与家人进行友好沟通，并在必要时寻求专业律师的帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。