在私人企业工作未签订劳动合同且被辞退的情况下，劳动者可以依法主张未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿以及违法解除劳动合同的赔偿金。以下是对此问题的详细分析：

一. 确认劳动关系

• 即使未签订书面劳动合同，但如果劳动者能提供工资支付记录、工作证明、考勤记录等材料，这些都可以作为存在劳动关系的证据。

二. 未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿

• 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。计算期间从用工满一个月的次日起开始计算，最长不超过11个月。
• 例如，如果劳动者3月1日入职，10月1日被辞退且一直未签合同，那么可主张4月1日至9月30日共6个月的双倍工资。

三. 违法解除劳动合同的赔偿金

• 如果私人企业无故辞退劳动者，该行为可能构成违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或终止劳动合同的，应依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
• 赔偿金计算具体如下：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资标准指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。赔偿金为经济补偿的二倍。

四. 维权途径与建议

1. 与店家协商：首先尝试与私人企业协商解决赔偿问题。
2. 保留证据：保留好所有与劳动关系和辞退相关的证据。
3. 向劳动监察部门投诉：若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉。
4. 申请劳动仲裁：若投诉仍无法解决问题，可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
5. 提起诉讼：对仲裁结果不满意时，可在规定期限内向人民法院提起诉讼。

我建议，劳动者在主张权益时，应充分了解自己的权利，并保留好相关证据，以便在维权过程中使用。如有进一步需要，您可以继续咨询我。