羁押后最短3日（不含拘留当日）可以申请取保候审，但具体能否获批需综合案件情况判断。以下从法律流程、时间节点、影响因素三个角度为您详细分析：

1. 法律流程与时间节点

• 拘留后3日内：公安机关认为需要逮捕的，需提请检察院审查批准。特殊情况下（如案情复杂），可延长1至4日；对流窜、多次、结伙作案的重大嫌疑分子，拘留期限可延长至30日。
• 检察院审查期7日：检察院接到提请批准逮捕书后，需在7日内作出是否批准逮捕的决定。若不批准，公安机关应立即释放嫌疑人，并通知检察院；若需继续侦查且符合取保条件，可依法办理取保候审。
• 最短申请时间：从被拘留到可申请取保候审，理论上最短为3日（不含拘留当日），但实际需结合案件进展。

2. 取保候审的申请条件

法律未明确规定取保候审的“最短期限”，但需满足以下条件之一：

• 可能判处管制、拘役或独立适用附加刑；
• 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性；
• 患有严重疾病、生活不能自理，或怀孕/正在哺乳自己婴儿的妇女；
• 羁押期限届满，案件尚未办结，需采取取保候审。

关键点：只要符合条件，在整个刑事诉讼过程中（侦查、审查起诉、审判阶段）均可申请取保候审，无最短时间限制。

3. 影响取保候审获批的因素

• 案件复杂程度：案情简单、证据充分的，可能较快获批；案情复杂、需进一步侦查的，审批时间可能延长。
• 社会危险性评估：若嫌疑人存在逃跑、串供、再犯罪等风险，取保申请可能被拒。
• 手续完备性：申请材料（如保证人资格、保证金数额）是否符合要求，也会影响审批效率。

4. 实务建议

• 及时申请：若认为符合取保条件，可尽早向办案机关提交申请，无需等待“最短时间”。
• 准备充分材料：包括保证人身份证明、保证金缴纳凭证、嫌疑人健康证明等。
• 关注案件进展：若检察院不批准逮捕，公安机关可能变更强制措施（如取保候审），此时需主动配合。

总结：羁押后申请取保候审无固定最短时间，但理论上最短3日可启动流程。能否获批取决于案件情况、社会危险性及手续完备性。若您或家人面临此类问题，可直接向我咨询具体案件的取保策略及材料准备。