结论前置：在“把人打死了，但鉴定为轻微伤作为诱因”的复杂情境下，家属可通过刑事控告、民事赔偿、行政监督及申诉复查等多途径维权，需结合具体案情选择策略。以下为详细分析：

一、刑事控告与司法监督

1. 对鉴定结论的质疑与复核
   若鉴定报告将死亡结果归因于“轻微伤作为诱因”，家属可申请重新鉴定或补充鉴定。根据《刑事诉讼法》第148条，对鉴定意见有异议的，可要求公安机关补充鉴定或由检察院、法院委托重新鉴定。需重点审查鉴定机构资质、程序合法性及结论科学性（如轻微伤与死亡的因果关系是否充分）。

2. 追究行为人刑事责任
   即使死亡结果非直接由轻微伤导致，若行为人存在故意或过失（如明知被害人有特殊体质仍实施伤害），可能构成过失致人死亡罪或故意伤害罪（致人死亡）。家属应向公安机关提交控告材料，要求立案侦查，并关注案件是否移送检察院审查起诉。

二、民事赔偿途径

1. 提起侵权损害赔偿之诉
   根据《民法典》第1165条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应承担侵权责任。家属可主张医疗费、丧葬费、死亡赔偿金、被扶养人生活费等（具体标准参照《最高人民法院关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》）。需准备证据包括：死亡证明、鉴定报告、行为人与被害人关系证明、损失票据等。

2. 共同侵权或安全保障义务责任
   若死亡结果涉及第三方（如场所管理者未尽安全保障义务），可追加为共同被告。例如，在公共场所因他人冲突导致死亡，管理者未及时制止的，可能承担补充责任。

三、行政监督与申诉

1. 对公安机关不立案的救济
   若公安机关不予立案，家属可向同级检察院申请立案监督（《刑事诉讼法》第113条），或向上级公安机关申请复议。需提交书面控告材料、证据清单及不立案理由说明书。

2. 对鉴定程序的行政投诉
   若鉴定机构存在程序违法（如未回避、超范围鉴定），可向当地司法行政部门投诉，要求撤销鉴定结论或行政处罚。

四、关键证据收集与策略建议

1. 证据清单

   • 现场监控录像、目击证人证言；
     
   • 行为人与被害人的过往纠纷记录；
     
   • 医疗机构出具的死亡原因分析报告；
     
   • 行为人主观故意或过失的证据（如威胁短信、先前的攻击行为）。

2. 策略选择

   • 刑事优先：若行为人涉嫌犯罪，优先推动刑事立案，民事赔偿可附带提起；
     
   • 民事先行：若刑事程序推进困难，可先行提起民事诉讼，通过法院调查令获取关键证据；
     
   • 舆论与调解：在符合法律程序前提下，通过媒体监督或第三方调解促成和解（需签署书面协议并公证）。

五、风险提示

1. 因果关系认定风险
   若鉴定结论明确死亡与轻微伤无直接因果关系，刑事责任可能难以成立，需转向民事赔偿或行政责任追究。

2. 时效限制
   刑事控告无时效限制，但民事诉讼时效为3年（自知道权利受损之日起算），需及时主张权利。

行动建议：家属应尽快委托律师介入，通过刑事控告、民事诉讼、行政监督三线并行推进维权，同时注重证据固定与程序合规。如有进一步案情细节（如行为人身份、事发经过等），可向我补充说明以制定具体方案。