在检察机关适用认罪认罚从宽制度时，提出量刑建议是一个关键且细致的环节。以下是对这一过程的详细解答：

一、适用前提

首先，必须明确的是，认罪认罚从宽制度的适用前提是犯罪嫌疑人、被告人自愿如实供述自己的罪行，承认指控的犯罪事实，并愿意接受处罚。这是提出量刑建议的基础。

二、提出主体

量刑建议由人民检察院提出。这是检察机关在办理认罪认罚从宽案件时的法定职责。

三、考量因素

在提出量刑建议时，检察院会综合考虑多个因素，包括但不限于：

1. 犯罪事实：包括犯罪手段、造成后果等。
2. 犯罪性质：即犯罪行为的法律属性。
3. 情节：如犯罪嫌疑人在犯罪中的作用、是否有自首、立功等情节。
4. 社会危害程度：犯罪行为对社会造成的危害大小。
5. 认罪认罚情况：犯罪嫌疑人是否自愿认罪、是否积极赔偿损失、是否与被害方达成和解或调解协议等。

四、确定方式

量刑建议的确定通常基于基准刑，再结合认罪认罚情节进行适当调整。对于常见犯罪，有相对明确的量刑幅度参考。量刑建议一般应当为确定刑，即明确具体的刑罚种类和刑期。但对于新类型、不常见的案件和量刑情节复杂的重罪案件等，也可以提出幅度刑量刑建议。

五、告知程序

检察院在提出量刑建议时，应当就主刑、附加刑、是否适用缓刑等提出具体意见，并随案移送认罪认罚具结书等材料。在起诉书中，应写明被告人认罪认罚情况，并在庭审中说明量刑建议及理由。这样做有助于当事人特别是被告人理解和接受量刑建议，也促使法庭采纳。

六、前期工作

在提出量刑建议之前，检察机关还需要做大量认真细致的工作，包括：

1. 开展量刑协商：与犯罪嫌疑人、被告人及其辩护人进行沟通，就量刑建议达成共识。
2. 签署具结书：犯罪嫌疑人签署认罪认罚具结书，表示自愿认罪并接受处罚。但某些特殊情况下，如犯罪嫌疑人是盲、聋、哑人或未成年犯罪嫌疑人的法定代理人、辩护人对未成年人认罪认罚有异议的，不需要签署具结书。
3. 开展社会调查评估：对于拟提出适用缓刑或者判处管制的量刑建议，可以委托犯罪嫌疑人居住地的社区矫正机构进行调查评估，也可以自行调查评估。

七、审判阶段相关工作

在审判阶段，检察机关还需要：

1. 提出量刑建议并说明理由：公诉人应当在发表公诉意见时提出量刑建议并说明理由和依据。
2. 量刑建议的调整：如果法院经审理认为检察院的量刑建议明显不当，或者被告人、辩护人对量刑建议提出异议的，检察院可以调整量刑建议。

八、量刑建议精准化

为了提高量刑建议的精准度，检察机关还需要采取一系列措施，如提高思想认识、加强制度规范建设、加大培训力度、加快量刑智能辅助系统研发和推广等。

综上所述，检察机关在适用认罪认罚从宽制度时提出量刑建议是一个复杂而细致的过程，需要综合考虑多个因素，并遵循严格的程序和规范。