设计院和投资公司当然可以签订合同。合同是平等主体的自然人、法人、其他组织之间设立、变更、终止民事权利义务关系的协议，只要设计院和投资公司作为平等的民事主体，具备相应的民事权利能力和民事行为能力，且合同内容不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，那么他们之间就可以签订合同。

从合同类型的角度来看，设计院和投资公司之间可能签订的合同类型多种多样，具体取决于他们的业务需求和合作目的。例如：

1. 投资合作协议：如果投资公司计划对设计院进行投资，双方可以签订投资合作协议，明确投资金额、投资方式、股权比例、利润分配等关键条款。

2. 设计服务合同：如果设计院为投资公司提供设计服务，如建筑设计、工程设计等，双方可以签订设计服务合同，明确服务内容、服务标准、服务费用及支付方式等。

3. 联合开发合同：如果双方计划共同开发某个项目，如房地产项目、科技项目等，他们可以签订联合开发合同，明确各自的权利义务、投资比例、收益分配、风险承担等。

在签订合同时，设计院和投资公司应当注意以下几点：

• 合同主体的合法性：确保双方都是依法设立并有效存续的法人或其他组织，具备签订合同的资格。

• 合同内容的合法性：合同内容不得违反法律、行政法规的强制性规定，不得违背公序良俗。例如，合同中不得包含赌博、贩毒等违法内容。

• 合同条款的明确性：合同条款应当清晰明确，避免使用模糊、歧义的表述。对于关键条款，如合同金额、履行期限、违约责任等，应当特别注明。

• 合同履行的可行性：在签订合同前，双方应当对合同的履行能力进行评估，确保合同能够得到有效履行。例如，如果设计院需要按照投资公司的要求完成某项设计任务，那么设计院应当具备相应的设计能力和资源。

• 合同风险的防范：在签订合同时，双方应当充分考虑可能出现的风险，并在合同中约定相应的风险防范措施。例如，可以约定违约金、赔偿金等条款，以降低违约风险。

如果设计院和投资公司在签订合同过程中遇到任何法律问题或纠纷，他们可以寻求专业的法律帮助。作为专业律师，我擅长处理合同纠纷、婚姻家庭、经济纠纷等领域的问题，如果你有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。