编外驾驶员给私车加油被发现，可能面临以下处理方式，需结合具体情节和单位规定综合判断：

1. 单位内部处理（最常见情形）
   若驾驶员与单位存在劳动关系（包括编外合同制），单位有权依据内部规章制度处理。常见措施包括：

   • 要求退还油费：按实际加油金额赔偿单位损失；
     
   • 纪律处分：根据情节轻重给予警告、记过、降薪或解除劳动合同；
     
   • 追责赔偿：若造成单位财物损失（如油卡被盗刷），需承担民事赔偿责任。
     法律依据：根据《劳动合同法》第39条，劳动者严重违反用人单位规章制度的，单位可解除合同且无需支付补偿。

2. 行政或刑事责任（情节严重时）

   • 职务侵占罪：若加油行为涉及长期、多次盗用单位财物，且金额累计达6万元以上（各地标准不同），可能构成刑事犯罪，面临3年以下有期徒刑或拘役；
     
   • 盗窃罪：若以非法占有为目的，秘密窃取单位油料，金额较大时同样可能触犯刑法；
     
   • 行政处罚：即使不构成犯罪，公安机关也可根据《治安管理处罚法》第49条，对盗窃行为处5-15日拘留及罚款。
     关键点：是否以非法占有为目的、金额大小、次数多少是判断责任轻重的主要标准。

3. 民事赔偿义务（独立于单位处理）
   无论单位是否追责，驾驶员均需对实际造成的损失承担民事赔偿责任。例如：

   • 加油费用需全额退还；
     
   • 若因加油导致车辆损坏，需赔偿维修费用；
     
   • 单位为追偿产生的合理费用（如律师费、诉讼费）也可能需承担。

建议行动步骤：

1. 立即停止行为：避免继续实施或扩大损失；
   
2. 主动退赔：与单位协商退还油费，争取从轻处理；
   
3. 配合调查：如实说明情况，避免被认定为“逃避责任”；
   
4. 咨询法律人士：若单位处理过当或面临刑事指控，需及时评估风险。
   

风险提示：编外身份不等于免责，单位规章制度、劳动合同或劳务协议中可能明确禁止此类行为，违反者同样需承担责任。具体处理需结合加油次数、金额、主观故意等因素综合判断。

如有进一步细节（如单位性质、加油金额、是否被监控记录等），可提供更多信息以便更精准分析。