针对私人牙科治疗后患者不给钱的情况，您可以按照以下步骤处理：
友好沟通，了解原因：
- 首先，尝试与患者进行友好、耐心的沟通，了解其不支付费用的具体原因。可能是患者对费用明细有误解，或者存在其他经济上的困难。
- 如果是费用明细的问题，您可以详细解释收费项目和标准，消除患者的疑虑，促使其缴费。
收集证据，证明服务：
- 若沟通无果，您需要收集相关证据，以证明您已经为患者提供了医疗服务，并且费用是合理的。
- 证据可以包括病历、诊断报告、费用清单、治疗记录等。这些证据将有助于您在后续处理中维护自己的权益。
内部投诉管理部门协助：
- 如果您所在的牙科机构有内部投诉管理部门，您可以向该部门反映情况，请求其协助处理。
- 内部投诉管理部门可能会介入调解，尝试促使患者支付费用。
发送催款函，明确欠费情况：
- 如果内部处理无果，您可以向患者发送催款函，明确告知其欠费的事实、金额以及支付期限。
- 发送催款函时，请务必保留好函件发送的凭证，如邮寄回执或电子邮件发送记录等。
法律途径维权：
- 如果催款函也无效，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。
- 您可以向有管辖权的人民法院提起诉讼，要求患者支付医疗费用以及可能产生的利息等损失。
- 在诉讼过程中，您需要提交之前收集的证据，以证明您的主张。
法律背景与建议：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，患者接受医疗服务后，应当按照约定支付费用。如果患者拒绝支付，医疗机构有权通过合法途径追讨欠款。
- 在处理此类纠纷时，建议您保持冷静和理性，避免与患者发生不必要的冲突。通过友好沟通和法律途径来解决问题，是更为稳妥和有效的方式。
- 如果您对法律程序不熟悉，或者担心自己在处理过程中会遇到困难，您可以考虑寻求专业律师的帮助。律师可以为您提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助您更好地维护自己的权益。
可能后果：
- 如果患者最终仍然拒绝支付费用，并且您通过法律途径成功追讨了欠款，那么患者可能需要承担额外的法律费用（如诉讼费、律师费等）以及可能的信用损失。
- 如果您未能通过合法途径追讨欠款，或者处理不当导致纠纷升级，那么您可能会面临经济损失和声誉损害等风险。
因此，建议您在处理此类纠纷时，务必遵循法律程序，保持冷静和理性，通过友好沟通和法律途径来解决问题。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。