公民对行政机关的监督通过人民来信提出时，行政机关应依法按以下程序处理：

1. 接收与登记
   行政机关需设立专门渠道（如信访部门、政府网站、专用信箱等）接收公民来信，并逐件登记，记录来信人基本信息、来信时间、主要诉求及提交材料。此环节要求及时性，避免拖延导致证据灭失或矛盾激化。

2. 分类与转办
   根据来信内容，行政机关需在15日内完成分类：

   • 职责范围内事项：直接转交具体业务部门处理；
     
   • 非职责范围事项：告知来信人并转交有权机关，或引导其通过法定途径（如行政复议、诉讼）解决；
     
   • 紧急或重大事项：立即上报并启动应急程序。
     法律依据：《信访条例》第21条明确分类转办规则，防止推诿。

3. 调查与处理
   承办部门需自收到转办之日起60日内完成调查，并形成书面处理意见：

   • 事实清楚、政策明确的，直接答复来信人；
     
   • 需协调其他部门的，组织联合调查，延长处理期限需经批准并告知来信人；
     
   • 涉及违法违规的，依法启动问责程序，并将结果反馈来信人。
     关键点：处理过程需留痕，确保程序合法性。

4. 答复与反馈
   行政机关需以书面形式答复来信人，内容应包括：

   • 调查结论及依据；
     
   • 处理结果或改进措施；
     
   • 救济途径（如复议、诉讼的期限及受理机关）。
     例外情形：涉及国家秘密、商业秘密或个人隐私的，可简化答复但需说明理由。

5. 监督与追责
   上级行政机关或信访工作机构需对处理情况进行定期检查，发现以下情形将追责：

   • 未按规定登记、转办或答复；
     
   • 推诿、敷衍、拖延导致矛盾升级；
     
   • 打击报复来信人。
     法律依据：《信访条例》第42条至第44条明确追责条款。

公民注意事项：

• 来信应内容具体、证据充分，避免模糊指责；
  
• 保留来信凭证（如邮寄回执、网站提交记录）；
  
• 对处理结果不服的，可在收到答复之日起30日内申请复查。
  

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