公民确实享有要求行政机关履行监督管理职责的权利。这一权利主要基于以下几个方面进行阐述：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关和行政机关工作人员的行政行为侵犯其合法权益，有权依照本法向人民法院提起诉讼。虽然该法条并未直接提及“监督管理职责”，但行政机关的监督管理职责是其行政行为的一部分，若行政机关未履行或不当履行该职责，公民有权通过法律途径寻求救济。
   • 此外，特定领域的法律法规，如环境保护、食品安全、安全生产等，也明确规定了行政机关的监督管理职责，并赋予了公民在相关权益受到侵害时要求行政机关履行职责的权利。

2. 权利行使方式：

   • 公民可以通过向行政机关提出书面申请、投诉、举报等方式，要求行政机关履行其监督管理职责。行政机关在收到公民的申请或投诉后，应当依法进行调查处理，并将处理结果告知公民。
   • 若行政机关未依法履行职责，公民还可以依法向人民法院提起行政诉讼，请求法院判决行政机关履行职责或确认行政机关不履行职责的行为违法。

3. 权利保障与限制：

   • 公民在行使要求行政机关履行监督管理职责的权利时，应当遵守法律法规的规定，不得滥用权利或干扰行政机关的正常工作秩序。
   • 行政机关在履行监督管理职责时，也应当依法行使职权，保护公民的合法权益，不得滥用职权或玩忽职守。

4. 实际案例：

   • 在实践中，已经有许多公民通过法律途径成功要求行政机关履行其监督管理职责的案例。例如，在环境保护领域，公民可以通过投诉举报环境污染行为，要求环保部门进行调查处理；若环保部门未依法履行职责，公民还可以向法院提起诉讼。

法律建议：

• 若您认为行政机关未履行其监督管理职责，且该不履行行为已经或可能侵害您的合法权益，建议您首先向行政机关提出书面申请或投诉，要求其依法履行职责。
• 若行政机关未在规定期限内给予答复或处理结果不符合您的期望，您可以考虑向人民法院提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。

可能法律后果：

• 若行政机关未依法履行监督管理职责，且该不履行行为被法院确认违法，行政机关可能需要承担相应的法律责任，包括赔偿公民因行政机关不履行职责而遭受的损失等。
• 同时，公民在行使权利时也应当注意方式方法，避免采取过激行为或干扰行政机关的正常工作秩序，否则可能承担相应的法律责任。