结论前置：事业单位招工签订5年财政全额拨款合同期满后，处理方式需结合合同约定、单位编制情况及法律法规综合判断，具体分为以下三种情形：

1. 合同约定续签条款

若合同中明确约定“期满自动续签”或“双方协商续签”，则单位应按约定与劳动者续签合同。

• 法律依据：根据《劳动合同法》第14条，连续订立两次固定期限合同后，劳动者提出续签无固定期限合同的，单位应当续签（但事业单位适用《事业单位人事管理条例》，需结合具体规定）。
  
• 操作要点：单位需在合同期满前30日书面通知劳动者是否续签，若未通知且继续用工，可能视为默认续签原合同条件。

2. 合同未约定续签，单位决定不续签

若合同未约定续签条款，且单位明确不续签，需依法支付经济补偿。

• 补偿标准：根据《劳动合同法》第47条，按劳动者在单位工作年限，每满1年支付1个月工资（6个月以上按1年计算，不满6个月支付半个月工资）。
  
• 特殊情形：若劳动者存在《劳动合同法》第39条过错（如严重违纪、被追究刑事责任等），单位可无偿解除合同。

3. 单位编制调整或政策变化

若因财政拨款减少、编制缩减等客观原因无法续签，需区分以下情况：

• 编制内人员：若劳动者属于事业编制，单位需按《事业单位人事管理条例》规定，通过协商、调岗或依法解除合同，并支付补偿。
  
• 编外合同制人员：按普通劳动合同处理，单位需提前30日书面通知并支付经济补偿。
  
• 政策性安置人员：若涉及特殊政策（如退役军人安置），需按政策规定优先保障就业。

风险提示与建议

1. 合同条款审查：建议劳动者在签订合同时明确续签条件、补偿标准等条款，避免期满后争议。
   
2. 证据保留：若单位未依法支付补偿或未通知续签，劳动者可保留工资条、合同、通知等证据，通过劳动仲裁维权。
   
3. 协商优先：期满前可与单位协商续签条件（如薪资、岗位），若协商不成再依法主张权利。

如有进一步疑问（如具体补偿计算、编外人员处理等），可直接向我咨询。