针对您提出的“农民工工资先行支付通知由哪个部门下”的问题，这里需要明确的是，农民工工资先行支付的相关通知或决定，并非直接由某一部门“下发”，而是涉及多个部门在不同环节的职责与操作。不过，若您指的是在特定法律程序下，如申请支付令时，相关通知或决定的出具部门，我可以为您详细解释。

首先，我们要明确的是，当农民工遇到工资拖欠问题，并希望通过法律途径解决时，可以向有管辖权的基层人民法院申请支付令。这一过程中，法院会审查申请，若认为债权债务关系明确、合法，便会在受理申请之日起十五日内向用人单位发出支付令。这个支付令，可以视为一种“先行支付通知”的法律形式，它要求用人单位在收到支付令之日起十五日内清偿债务，或者向人民法院提出书面异议。

而劳动行政部门，如劳动监察大队等，虽然不直接出具支付令，但它们在农民工工资支付问题上也扮演着重要角色。劳动行政部门主要负责监督检查用人单位的劳动用工情况，查处违法行为，包括拖欠工资等，以保障劳动者的合法权益。如果农民工遇到工资拖欠问题，也可以向劳动监察部门投诉，劳动监察部门会依法进行调查处理。

此外，在建筑领域等特定行业，若因分包单位原因导致工资拖欠，建设单位或总承包企业在一定条件下还负有先行垫付农民工工资的责任。这种情况下，农民工可以直接与建设单位或总承包企业沟通，寻求工资的先行支付。

综上所述，农民工工资先行支付的相关通知或决定并非由单一部门下发，而是涉及法院、劳动行政部门以及建设单位或总承包企业等多个主体在不同环节的职责与操作。若您希望通过法律途径解决工资拖欠问题，建议向有管辖权的基层人民法院申请支付令；若您希望快速解决工资问题，也可以考虑向劳动监察部门投诉或寻求劳动争议调解组织的帮助。