遇到肇事者电话停机的情况，确实会给后续的沟通和处理带来一些困难，但您仍然可以通过以下途径来解决问题：

首先，我建议您立即联系肇事车辆所属的交通管理部门。交通管理部门在处理这类肇事逃逸案件时，拥有专业的调查手段和丰富的资源。他们可以通过车辆登记信息、监控录像等多种途径，来查找肇事方的相关线索，这包括但不限于其联系方式、家庭住址等。即使肇事方的手机停机，这也不会影响交通管理部门的调查工作，他们仍然能够继续推进案件的侦破。

其次，您可以查看事故现场周边的监控设施。如果事故发生地安装有监控摄像头，那么这些摄像头很可能已经记录下了肇事车辆的相关信息。交通管理部门可以调取这些监控录像，通过录像中的车辆特征、行驶轨迹等信息，来确定肇事车辆及肇事方的身份信息。一旦确定了身份，即使其手机停机，交通管理部门也能通过其他方式找到其本人。

最后，您还可以发动事故现场的目击证人提供线索。在肇事逃逸发生时，往往会有目击证人在场。他们可能记住了肇事车辆的车牌号、车型等关键信息。通过收集这些目击证人的线索，并结合交通管理部门的调查，您也有可能找到肇事方。即使其手机停机，这些线索仍然能够帮助您和交通管理部门推进案件的侦破工作。

总的来说，虽然肇事者电话停机会给处理带来一定困难，但您仍然可以通过联系交通管理部门、查看监控设施以及发动目击证人提供线索等途径，来解决问题并推进案件的侦破。希望这些建议能够对您有所帮助。