当当事人对行政处罚告知存在异议时，他们可以通过一系列合法且有序的途径来维护自身的权益。以下是对这一问题的详细解答：

一、陈述和申辩

法律依据：根据《中华人民共和国行政处罚法》，当事人享有陈述和申辩的权利。这是行政处罚过程中保障当事人权益的基本制度。

具体操作：

• 当事人应在规定的期限内（通常会在行政处罚告知书中明确），以书面或口头形式向作出处罚决定的行政机关提出异议。
• 在陈述和申辩中，当事人应明确阐述对处罚决定的不满及理由，并提供相关证据支持其观点。例如，如果认为事实认定错误，可以提交反证材料来证明自己的清白或减轻责任。

二、要求举行听证

适用条件：对于某些重大行政处罚，如责令停产停业、吊销许可证或执照、较大数额罚款等，当事人有权要求举行听证。

申请程序：

• 当事人在收到听证权利告知后，应在规定期限内（通常为3-5个工作日）向行政机关提交书面听证申请。
• 在听证过程中，当事人可以陈述自己的观点、举证、质证，并就处罚决定的合法性和合理性进行辩论。

三、申请行政复议

法律依据：《中华人民共和国行政复议法》为当事人提供了申请行政复议的渠道。

申请期限：自知道具体行政行为之日起六十日内（特殊规定除外），当事人可以向作出处罚决定的行政机关的上一级主管部门或同级人民政府提出行政复议申请。

申请材料：当事人应提交复议申请书及相关证据，以支持其复议请求。

四、提起行政诉讼

法律依据：《中华人民共和国行政诉讼法》保障了当事人的诉讼权利。

起诉期限：自知道或应当知道行政行为之日起六个月内（特殊规定除外），当事人可以向最初作出行政行为的行政机关所在地或复议机关所在地的人民法院提起诉讼。

起诉材料：当事人应提交起诉状及相关证据，以证明行政处罚决定的违法性或不合理性。

五、申请暂缓执行

特别说明：在申请行政复议或提起行政诉讼期间，如果涉及行政拘留等可能对当事人造成较大影响的处罚，当事人可以向公安机关申请暂缓执行。

条件：

• 当事人需证明暂缓执行不致发生社会危险。
• 当事人应提供担保人或交纳保证金，以确保在复议或诉讼结束后能够履行相应的义务。

总结与建议

面对行政处罚告知的异议，当事人应依法行使自己的权利，通过陈述申辩、听证、行政复议、行政诉讼等途径来维护自己的合法权益。同时，在处理相关法律问题时，建议当事人咨询专业律师，以确保自己的权益得到有效保护。律师可以提供专业的法律意见和帮助，指导当事人如何更好地行使自己的权利并应对可能的法律风险。