恒大欠嘉遇门窗的工程款应由恒大集团自身来承担偿还责任。以下是对此问题的详细分析：
一. 欠款责任主体
根据《中华人民共和国公司法》第三条的规定，公司是企业法人，有独立的法人财产，享有法人财产权。公司以其全部财产对公司的债务承担责任。这意味着，恒大集团作为独立的法人实体，应当以其全部财产对恒大债务承担责任。因此，恒大欠嘉遇门窗的工程款，首要责任主体是恒大集团。
二. 债务清偿顺序
如果恒大集团出现破产情况，那么其欠款的清偿将按照《中华人民共和国企业破产法》的规定进行。具体来说，破产财产需要优先清偿破产费用和共益债务，然后按照以下顺序清偿：
如果破产财产不足以清偿同一顺序的清偿要求的，将按照比例分配。嘉遇门窗的工程款将作为普通破产债权进行清偿。
三. 连带责任与追偿
在某些情况下，如果存在连带责任人，如恒大集团的合作伙伴或担保人，债权人也可以向他们追偿。但这需要依据具体的合同条款和法律规定来确定。然而，就当前问题而言，并未提及存在连带责任人，因此这一点在此案中不适用。
四. 法律途径与措施
对于嘉遇门窗而言，如果恒大集团未能按时支付工程款，可以采取以下法律途径和措施来维护自身权益：
协商解决：首先尝试与恒大集团进行协商，寻求工程款的支付。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，发包人应当按照约定支付价款。因此，嘉遇门窗可以依据合同条款与恒大集团进行谈判，争取达成支付协议。
法律途径：如果协商无果，嘉遇门窗可以通过法律途径来追讨工程款。具体方式包括向人民法院提起诉讼，请求人民法院将该工程依法拍卖，并就该工程折价或者拍卖的价款优先受偿。此外，在获得法院判决后，如果恒大集团在履行期未履行法院判决，嘉遇门窗还可以申请法院强制执行。
其他措施：除了上述协商和法律途径外，嘉遇门窗还可以考虑向相关管理部门举报或向媒体曝光恒大的欠款行为。这些措施可能会对恒大集团产生一定的压力，促使其尽快支付工程款。
我的建议：嘉遇门窗应首先尝试与恒大集团进行协商，寻求和平解决。如果协商无果，应尽快采取法律途径来维护自身权益。同时，也可以考虑向相关管理部门举报或向媒体曝光恒大的欠款行为，以加大追讨力度。如有进一步需要，您可以继续咨询我。