面对姐姐持有母亲的死亡证明却拒绝给予，导致弟弟无法顺利办理母亲后续事务的情况，这确实是一个棘手但并非无解的问题。以下是我为你提供的详细解决方案，希望能帮助你妥善处理这一困境。

一、首要建议：沟通协商

1. 情感沟通：

• 首先，尝试与姐姐进行一次心平气和的对话。表达你对母亲后续事务处理的关切和责任感，同时理解姐姐可能有的情绪或顾虑。
• 强调作为家庭成员，共同面对和妥善处理这些事务对于维护家庭和谐与亲情的重要性。

2. 明确需求：

• 清晰地向姐姐说明你需要死亡证明的具体用途，如处理遗产继承、保险理赔、丧葬补助申请等合法事务。
• 提供相关的法律文件或政策依据，以增强说服力。

二、寻求第三方协助：调解

1. 家族长辈介入：

• 如果直接沟通无果，可以请家族中有威望且公正的长辈出面调解。他们可能更了解家庭情况，能够从家族情感和传统道德出发，劝说姐姐交出死亡证明。

2. 基层组织调解：

• 向当地的居委会或村委会反映情况，请求他们进行调解。这些组织通常有专门的人员负责处理邻里纠纷和家庭矛盾，能够提供中立的意见和协助。

3. 人民调解委员会：

• 考虑向人民调解委员会提出调解申请。这是一个依法设立的群众性组织，提供专业的调解服务。调解员会根据法律法规和实际情况，提出合理的解决方案。

三、法律途径：补办或起诉

1. 申请补办死亡证明：

• 根据母亲死亡情况的不同，向相应机构申请补办死亡证明。
  • 医疗卫生机构正常死亡：联系出具证明的医疗卫生机构，按照其要求提供相关材料（如死者身份证、户口本、关系证明等），申请补办《居民死亡医学证明（推断）书》。
  • 家中正常死亡：向社区卫生服务中心或乡镇卫生院咨询补办手续和材料，按要求申请补办。
  • 非正常死亡：向公安司法部门说明情况，配合其工作，申请重新开具相关证明。

2. 起诉要求返还：

• 如果补办不可行或急需原件，可以考虑向法院提起诉讼，要求姐姐返还死亡证明。
  • 收集证据：包括与姐姐的沟通记录、你需要死亡证明处理合法事务的相关文件等。
  • 撰写起诉状：明确原告、被告信息，诉讼请求及事实和理由。
  • 提起诉讼：将起诉状和相关证据提交给有管辖权的法院，等待开庭审理并陈述你的主张。

四、注意事项

• 尊重隐私与合法权益：在整个处理过程中，要确保行为合法合规，尊重他人的隐私权和合法权益。避免采取过激或违法的手段。
• 保持冷静与理智：面对家庭矛盾，情绪化的冲突和争吵往往无助于问题的解决。保持冷静和理智，以平和的心态寻求解决方案。

综上所述，面对姐姐持有死亡证明却拒绝给予的情况，弟弟应先尝试通过沟通协商和第三方调解来解决问题。如果这些方法都无效，再考虑通过法律途径申请补办或要求返还。在整个过程中，务必遵守法律法规，尊重他人权益，以和平、理性的方式解决问题。