公司股东死亡后私下转让股权，若未遵循法定程序，则通常不合法。以下从不同角度为您详细分析：
一、股东资格继承与股权转让的合法性基础
根据《中华人民共和国民法典》及相关法律规定，自然人股东死亡后，其合法继承人可以继承股东资格，但这一原则性规定并非绝对。若公司章程中有特别规定，如限制或排除继承人的股东资格继承权，则应遵循公司章程的约定。若公司章程未作特别限制，继承人继承股权后，便有权依法进行股权转让。
二、私下转让股权的合法性分析
未通知其他股东的情况：
- 在股权转让过程中，必须及时通知其他股东，让其他股东知晓股权转让事宜。这是为了维护公司内部的股权结构和其他股东的利益，避免因股权转让而导致公司股权比例的不合理变化。
- 若未通知其他股东而私下转让股权，则可能因程序瑕疵导致转让行为无效。其他股东在同等条件下享有优先购买权，若因未通知而剥夺了他们的这一权利，转让行为将难以得到法律的认可。
违反公司章程规定的情况：
- 公司章程是公司内部的重要法律文件，对股东的权利和义务具有约束力。若公司章程对股权转让有特别规定，如需要经过特定程序或获得特定批准，则私下转让股权将违反这些规定。
- 违反公司章程规定的股权转让行为，可能因不符合公司内部规则而被认定为无效。
未办理工商变更登记的情况：
- 股权转让完成后，应及时办理工商变更登记手续，以公示股权转让的结果。这是股权转让行为生效的重要要件之一。
- 若未办理工商变更登记而私下转让股权，则可能因未完成法定公示程序而导致转让行为存在瑕疵。在后续的法律纠纷中，这可能成为影响转让行为效力的因素。
三、合法转让股权的建议
遵循法定程序：
- 在股权转让过程中，应严格遵循公司法以及公司章程中关于股权转让的各项规定。包括及时通知其他股东、保障其他股东的优先购买权等。
办理工商变更登记：
- 股权转让完成后，应及时办理工商变更登记手续，以公示股权转让的结果。这是确保转让行为生效的重要步骤。
咨询专业律师：
- 在进行股权转让时，建议咨询专业律师的意见。律师可以根据具体情况提供法律建议，帮助确保转让行为的合法性和有效性。
总结来看，公司股东死亡后私下转让股权的合法性取决于是否遵循了法定程序和公司章程的规定。若未遵循这些规定，则转让行为可能因程序瑕疵或违反公司内部规则而被认定为无效。因此，在进行股权转让时，务必确保遵循法定程序和公司章程的规定，以保障转让行为的合法性和有效性。若您在此过程中遇到任何法律问题，可以直接向我咨询。