当公司面临网络诽谤其名誉的情况时，处理这一问题需要细致且有条理地进行。以下是我为您提供的详细解答：

一、固定证据

首先，公司需要迅速且全面地固定相关证据。这包括但不限于：

• 聊天记录：如果诽谤行为发生在即时通讯工具中，如微信、QQ等，应截图保存相关对话。
• 邮件：若诽谤内容通过电子邮件发送，需保存邮件原文及发送记录。
• 社交媒体内容：包括微博、抖音、知乎等平台上的诽谤性帖子、评论或转发，应截图并保存链接。
• 其他网络证据：如论坛帖子、博客文章等，同样需要保存相关内容及发布时间、作者信息等。

固定证据的目的是为了证实诽谤行为的存在及其影响范围，为后续的法律行动提供有力支持。

二、法律途径维权

1. 民事诉讼

公司可以向侵权行为发生地的基层人民法院提起民事诉讼，要求侵权人：

• 停止侵权：要求侵权人立即停止发布诽谤性内容。
• 消除影响：通过公开声明、删除诽谤内容等方式，消除不良影响。
• 恢复名誉：要求侵权人采取措施恢复公司名誉，如发布正面信息等。
• 赔偿损失：包括因名誉受损导致的直接经济损失（如客户流失、产品滞销等）和为维权支出的合理费用（如律师费、诉讼费等）。

在提起诉讼时，公司需要明确侵权人的身份信息、侵权行为的具体样态以及造成的后果等。

2. 刑事报案

若诽谤行为严重，构成侮辱罪或诽谤罪，公司可以向公安机关报案，由司法机关依照法律规定追究侵权人的刑事责任。根据《刑法》规定，以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。

三、行政责任追究

除了民事和刑事责任外，侵权人还可能面临行政责任。根据《治安管理处罚法》规定，公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。

四、建议与预防措施

• 加强监测：公司应建立网络监测机制，及时发现并处理诽谤性内容。
• 完善内部管理：加强员工培训，提高法律意识，避免内部泄露敏感信息或发表不当言论。
• 建立危机应对机制：制定应对网络诽谤的预案，包括法律途径、公关策略等，以快速有效地应对危机。

综上所述，当公司面临网络诽谤其名誉的情况时，应首先固定证据，然后通过民事诉讼、刑事报案或行政责任追究等法律途径维护自身权益。同时，公司还应加强监测、完善内部管理并建立危机应对机制，以预防类似事件的发生。希望这些建议能对您有所帮助。