可以申诉赔偿，但能否成功取决于具体情形和证据收集情况。以下从不同角度为您详细分析：
一、学校行为的合法性分析
学籍管理规定：
- 根据相关教育法规，学校有义务为学生办理学籍注册手续。若学校在开学一个礼拜后以“没学籍”为由要求学生退学，这可能涉及违反学籍管理规定。
- 您需要核实学校是否确实未为学生办理学籍，或者是否存在其他导致学籍未注册的原因（如学生信息提供不全、学校操作失误等）。
退学决定的合理性：
- 学校单方面以“没学籍”为由要求学生退学，可能缺乏充分的法律依据。除非学生确实存在不符合入学条件或违反学校规定的情况，否则学校不得随意剥夺学生的受教育权。
二、申诉赔偿的法律依据
合同关系：
- 学生入学时，与学校之间形成了一种教育服务合同关系。学校有义务提供符合规定的教育服务，包括办理学籍、提供教学等。
- 若学校违反合同约定，如未按时办理学籍导致学生退学，学生有权要求学校承担违约责任，包括赔偿因此造成的损失。
侵权责任：
- 若学校的行为构成对学生受教育权的侵犯，学生还可以依据侵权责任法（现为民法典侵权责任编）要求学校承担侵权责任。
- 赔偿范围可能包括学生因退学而产生的直接经济损失（如学费、住宿费等）以及间接经济损失（如因退学而错过的就业机会、学业中断等造成的损失）。不过，间接经济损失的赔偿通常较难证明和计算。
三、申诉赔偿的步骤和建议
收集证据：
- 保留与学校沟通的所有记录，包括入学通知书、缴费凭证、学校通知退学的文件等。
- 收集其他可能证明学校过错的证据，如其他学生或家长的证言、学校过往类似行为的记录等。
与学校协商：
- 尝试与学校进行友好协商，表达您的诉求和理由，看是否能够达成和解。
向教育主管部门投诉：
- 若协商无果，您可以向当地的教育主管部门（如教育局）投诉学校的行为，要求其介入调查并处理。
提起诉讼：
- 若教育主管部门未能妥善解决问题，或者您对处理结果不满意，您可以考虑向法院提起诉讼，要求学校承担违约责任或侵权责任。
四、注意事项
- 时效性：注意申诉和诉讼的时效性，避免因超过法定时效而丧失权利。
- 专业咨询：虽然我可以为您提供法律咨询，但具体案件的处理可能因地区、学校政策等因素而有所不同。因此，在采取行动前，建议您进一步向我咨询以获取更具体的法律建议。
总结来说，您有权就学校以“没学籍”为由要求学生退学的行为进行申诉并要求赔偿。但能否成功取决于具体情形和证据收集情况。建议您尽快收集相关证据，并与学校协商或向教育主管部门投诉，必要时提起诉讼以维护自己的合法权益。如果您在此过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。