在交通事故责任认定完毕后，若对方不肯提供报案号，你可以采取以下措施：

1. 理解报案号的重要性：

   • 报案号是交通事故发生后，由交警部门或相关机构出具的唯一标识，用于追踪和查询事故处理进度及相关信息。它对于后续的保险理赔、法律诉讼等环节都至关重要。

2. 与对方沟通协商：

   • 首先，尝试与对方进行友好沟通，明确告知对方报案号的重要性，并请求其提供。有时候，对方可能只是不了解报案号的作用或出于其他非恶意原因而拒绝提供。

3. 联系交警部门：

   • 如果与对方沟通无果，你可以直接联系处理该事故的交警部门。提供事故发生的时间、地点、双方车辆信息等关键细节，请求交警部门协助查询并获取报案号。交警部门有义务根据事故处理记录提供相关信息。

4. 通过保险公司获取：

   • 如果你或对方已购买了车辆保险，并且事故已向保险公司报案，那么你也可以尝试联系自己的保险公司或对方的保险公司。提供事故相关信息后，保险公司可能能够协助你获取报案号或提供其他相关帮助。

5. 法律途径：

   • 如果上述方法均无法获取报案号，且该报案号对你后续的法律诉讼或保险理赔至关重要，你可以考虑通过法律途径解决。例如，向法院提起诉讼，要求对方提供报案号或承担因无法提供报案号而给你造成的损失。在此过程中，你需要准备充分的证据来支持你的诉求。

6. 注意事项：

   • 在整个过程中，务必保持冷静和理性，避免与对方发生不必要的冲突。
   • 保留好所有与事故相关的证据，如现场照片、视频、证人证言等，以备不时之需。
   • 如果可能的话，尽量在事故发生后立即报警并获取报案号，以减少后续的麻烦和不确定性。

若你遇到此类问题，并需要进一步的法律帮助或建议，请随时向我咨询。我会根据你的具体情况，提供更为详细和专业的法律指导。