在一般情况下，交警对于医院门口外停车且司机在车内的行为，并没有明确的法律义务进行提醒。不过，我们可以从多个角度来详细分析这个问题：

法律义务与执法实践

1. 法律义务：根据《中华人民共和国道路交通安全法》及相关实施条例，交警对于违法停车的行为有权进行处罚，包括口头警告、罚款甚至拖车。然而，这些法律条款并未明确规定交警在处罚前有义务提醒司机。交警的执法行为更多是基于对交通秩序的维护和对违法行为的纠正。

2. 执法实践：在实际执法过程中，交警可能会根据具体情况和现场环境来决定是否提醒司机。例如，如果司机只是短暂停留且未造成交通拥堵，交警可能会选择口头警告并令其立即驶离。但如果司机长时间停留或造成交通障碍，交警则可能会直接进行处罚。

司机应尽的责任

1. 遵守交通规则：作为司机，应当严格遵守交通规则，包括停车规定。在医院门口等特定区域停车时，应特别注意是否有禁停标志或标线，以及是否妨碍其他车辆和行人通行。

2. 及时驶离：如果因特殊情况需要临时停车，司机应确保在不影响交通的情况下尽快驶离。如果收到交警的口头警告或看到交警示意驶离，应立即响应并驶离现场。

可能的法律后果

1. 罚款与记分：如果司机在医院门口外违法停车且未及时驶离，可能会面临罚款并记分的处罚。具体的罚款金额和记分情况会根据不同地区和具体情况有所差异。

2. 拖车处理：在严重情况下，如果司机不在现场或拒绝立即驶离，交警可能会将车辆拖移至不妨碍交通的地点或公安机关交通管理部门指定的地点停放。此时，司机不仅需要承担罚款和记分的后果，还可能需要支付拖车费用。

建议与提醒

1. 增强法律意识：司机应增强法律意识，了解并遵守交通规则。在停车时，应选择正规停车位或遵守临时停车规定。

2. 及时响应交警指示：如果收到交警的口头警告或看到交警示意驶离，司机应立即响应并驶离现场。避免因拖延或拒绝驶离而面临更严重的法律后果。

3. 寻求法律帮助：如果司机对交警的处罚有异议或认为自己的权益受到侵害，可以寻求法律帮助或通过合法途径进行申诉。

如果有任何关于交通违章或其他法律问题的疑问，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况提供专业的法律意见和帮助。