被判处一个月的刑期是会留下案底的。以下是对这一问题的详细分析：

案底的定义与影响

案底，指的是某人过去犯法或犯罪行为的记录。一旦被法院判处了刑罚，无论刑期长短，这个判决都会被记录在司法系统中，形成案底。案底会对个人产生诸多影响，包括但不限于：

1. 就业方面：一些用人单位在进行背景调查时，若发现有案底，可能会对是否录用该人有所顾虑。这可能导致有案底的人在就业市场上处于不利地位。
2. 社会生活方面：在申请某些许可证、参与一些特定活动时，案底也可能成为阻碍因素。例如，某些需要良好道德品质证明的活动或职业，可能会因为有案底而拒绝申请者的参与。
3. 家庭成员方面：案底还可能对其家庭成员产生一定影响。在一些政审严格的情况下，比如公务员录用、军校入学等，案底可能会波及到直系亲属的相关权益。

判刑一个月与案底的关系

被判刑一个月，意味着已经经过了完整的司法审判流程，被认定构成犯罪。犯罪记录会被保存在相关司法机关的档案中，且通常无法消除。因此，即使只是被判刑一个月，也会留下案底，并且这份记录会在一定程度上跟随当事人，对其今后的生活产生持续的影响。

特殊情况说明

虽然一般情况下被判刑会留下案底，但也存在一些特殊情况。例如，未成年人犯罪如果符合特定条件，在犯罪记录封存方面有相关规定，会对犯罪记录进行严格保密和限制查询，以保护未成年人的权益和促进其更好地回归社会。然而，这一规定并不适用于成年人因犯罪被判刑的情况。

建议：

• 如果您或您身边的人因犯罪被判刑，无论刑期长短，都应正视案底的存在及其可能带来的影响。
• 在就业或参与社会活动时，应提前了解相关要求，做好应对准备。
• 如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。