针对您提出的问题——给工厂下单但没签合同，现在工厂逾期没交货，且您要求现金出货的情况，以下是我为您提供的详细解答：
一、事实合同关系的认定
尽管您与工厂没有签订正式的书面合同，但根据《民法典》的相关规定，事实合同关系仍然可能成立。要证明这一点，您需要收集并保留与工厂之间的交易证据，如订单记录、与工厂的沟通凭证（包括邮件、短信、微信聊天记录等）、以及生产进度的相关材料。这些证据能够证明您与工厂之间存在交易关系，且工厂有交货的义务。
二、工厂逾期交货的违约责任
一旦事实合同关系得到认定，工厂逾期未交货就构成了违约。根据《民法典》的规定，违约方需要承担继续履行、补救、赔偿损失等违约责任。因此，您有权要求工厂继续履行交货义务，并赔偿因逾期交货给您造成的损失。
三、解决途径与步骤
协商解决：
- 首先，您可以尝试与工厂进行协商，明确要求他们继续履行交货义务，并就逾期交货的问题进行沟通，看是否能够达成一致的解决方案。
书面通知：
- 如果协商没有效果，您可以向工厂发送书面通知（如律师函或正式函件），在函件中明确指出他们的违约行为以及需要承担的责任，并给他们限定一个合理的交货期限。
法律途径：
- 如果工厂仍然不履行交货义务，您可以考虑向法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来证明事实合同关系的存在以及工厂的违约行为。
- 同时，您还可以要求法院判决工厂赔偿因逾期交货给您造成的损失，如采购替代货物产生的差价、耽误生产经营造成的利润损失等。
四、关于现金出货的要求
- 如果您要求现金出货，这通常需要在合同或交易协议中明确约定。由于您与工厂没有签订书面合同，因此这一要求可能难以直接通过法律途径强制执行。
- 不过，在协商或诉讼过程中，您可以尝试与工厂就现金出货的问题进行沟通，看是否能够达成一致的解决方案。如果工厂同意现金出货，最好能够签订一份书面协议以明确双方的权利和义务。
五、建议与注意事项
- 在未来的交易中，建议您尽量与工厂签订书面合同，并明确约定交货时间、逾期责任、付款方式等关键条款，以避免类似的纠纷发生。
- 如果目前无法签订书面合同，也请务必保留好与工厂之间的交易证据，以便在需要时维护自己的合法权益。
综上所述，尽管您与工厂没有签订书面合同，但您仍然有权要求工厂继续履行交货义务并赔偿损失。如果协商无果，您可以通过法律途径来维护自己的权益。同时，在未来的交易中，建议您尽量签订书面合同以明确双方的权利和义务。