子女放弃对老人的监护权，在法律上通常与不尽赡养义务紧密相关，而这一行为会带来一系列严重的法律后果，主要体现在继承权方面。以下是对此问题的详细解答：

一、法律后果：丧失继承权

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，特别是第一千一百二十五条，明确指出了继承人丧失继承权的几种情形，其中就包括“遗弃被继承人，或者虐待被继承人情节严重”。在子女放弃对老人的监护权，且长期不尽赡养义务的情况下，这种行为很可能被法律认定为遗弃。

• 案例支撑：如您提供的案例中，小高（或高小某）作为家中独子，离家出走三十余年，对父母不闻不问，未提供任何经济帮助，未履行生活照料责任，且在父母离世时拒绝处理后事。法院最终认定其行为构成遗弃，并判决其丧失继承权。

二、具体影响

1. 经济利益：丧失继承权意味着子女将无法继承老人的遗产。在老人去世后，其遗产将按照法定继承顺序由其他继承人继承，或者根据老人的遗嘱进行分配。

2. 家庭关系：放弃监护权且不尽赡养义务的行为，会严重破坏家庭关系，导致家庭成员之间的信任和情感纽带断裂。这不仅会影响老人晚年的生活质量，也会对子女的社会声誉和人际关系产生负面影响。

3. 法律责任：除了丧失继承权外，子女还可能面临法律上的其他责任。例如，如果老人的生活因此受到严重影响，甚至导致老人陷入困境，子女可能还需要承担相应的民事责任或刑事责任（在极端情况下，如遗弃导致老人死亡）。

三、法律义务与道德责任

• 法律义务：赡养老人是子女的法定义务，不因父母的经济条件或健康状况而免除。这一义务是强制性的，违反者将受到法律的制裁。

• 道德责任：孝亲敬老是中华民族的传统美德，也是社会主义核心价值观的内在要求。子女应该尽己所能地照顾和关爱老人，让他们安享晚年。

四、建议与启示

• 尽孝尽责：作为子女，应该时刻牢记自己的法律义务和道德责任，尽己所能地照顾和关爱老人。

• 法律意识：增强法律意识，了解并遵守相关法律法规，避免因无知或疏忽而触犯法律。

• 家庭和谐：注重家庭关系的维护和培养，通过沟通和理解来解决家庭矛盾，共同营造一个和谐、温馨的家庭氛围。

综上所述，子女放弃对老人的监护权且长期不尽赡养义务的行为，将带来严重的法律后果，主要是丧失继承权。这一行为不仅违反了法律规定，也违背了社会道德和伦理规范。因此，作为子女，应该尽己所能地履行赡养义务，关爱和照顾老人。