结论：租客丢下遗留物后，是否可以交给警方需视遗留物的性质而定。若遗留物涉及违法违禁品，应立即联系警方；若为普通物品，则需按特定流程处理，一般不可直接交给警方。

详细分析：

1. 遗留物涉及违法违禁品：

   • 法律背景：根据相关法律法规，违法违禁品（如毒品、枪支弹药等）的持有、使用或传播均属违法行为。
   • 处理建议：若租客遗留的物品涉及违法违禁品，房东或发现者应立即联系警方，由警方依法处理。这是为了维护社会公共安全，防止违法物品的进一步流通和使用。

2. 遗留物为普通物品：

   • 法律背景：对于租客遗留的普通物品，房东并无直接交给警方的法律依据。房东应首先尝试联系租客或其紧急联系人，说明情况并留存沟通记录。
   • 处理流程：
     • 联系租客：房东应通过电话、短信、邮件等方式尝试联系租客，告知其遗留物品的情况，并询问如何处理。
     • 第三方见证：若联系不上租客，房东可邀请物业、社区人员等第三方见证，对遗留物品进行清点、登记和拍照，以备后续处理。
     • 物品价值判断：

          - **低价值物品**：若物品价值较低，房东在合理时间等待租客无果后，可在第三方见证下丢弃。
          - **高价值物品**：若物品价值较高，房东应妥善保管一段时间，并可向租客主张保管费用。保管合理期限后，若租客仍未出现，房东可考虑提存处理。
       

   • 不可直接交给警方的原因：警方通常不负责处理普通民事纠纷中的物品遗留问题，除非涉及违法犯罪行为。因此，房东直接将普通遗留物交给警方可能无法得到妥善处理，甚至可能引发不必要的法律纠纷。

法律后果与风险提示：

• 若房东未按照上述流程处理租客遗留物，可能面临租客的投诉或法律诉讼，尤其是当遗留物价值较高或涉及租客重要权益时。
• 若房东擅自处理租客遗留物，导致租客财产损失，房东可能需要承担相应的赔偿责任。

建议与总结：

• 房东在处理租客遗留物时，应首先判断遗留物的性质。若涉及违法违禁品，应立即联系警方；若为普通物品，则需按上述流程处理。
• 房东在处理过程中应保留好相关证据，如沟通记录、物品清单、照片等，以备后续可能出现的法律纠纷。
• 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议。