当原告在诉讼过程中死亡，且法院已作出判决但判决尚未生效（即处于上诉期），而继承人选择上诉时，我们需要按照以下步骤和法律规定来处理：
一、诉讼程序的暂时中止
通知继承人：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，一旦原告在诉讼中死亡，法院应及时通知其继承人。这是为了确保继承人有权了解诉讼情况，并决定是否继续参与诉讼。
中止诉讼：
- 在继承人表明是否参加诉讼之前，法院通常会裁定中止诉讼。这是因为诉讼的继续进行需要明确的当事人，而原告的死亡导致诉讼主体缺失。
二、继承人的权利与义务
表明继承意愿：
- 继承人应在合理期限内（通常由法院指定）表明是否愿意参加诉讼。这是继承人的权利，也是其义务，以确保诉讼程序的顺利进行。
提交相关材料：
- 如果继承人愿意参加诉讼，应向法院提交表明身份及继承关系的材料，如身份证、户口本、亲属关系证明、遗嘱等。这些材料用于证明继承人的身份和继承权。
三、上诉的处理
继承人作为上诉主体：
- 如果继承人愿意继续诉讼并提起上诉，那么继承人将成为新的上诉主体，承继原原告的诉讼地位。这意味着继承人将承担原原告在诉讼中的权利和义务，包括上诉的权利。
上诉的提起与审理：
- 继承人应在上诉期内向法院提起上诉，并按照上诉程序进行。法院将重新审理案件，考虑继承人的上诉请求和理由，并作出相应的判决。
被继承人诉讼行为的有效性：
- 根据法律规定，被继承人（即原原告）已经进行的诉讼行为对承担诉讼的继承人有效。这意味着继承人在上诉时，可以基于原原告已经进行的诉讼行为来主张自己的权利。
四、特殊情况的考虑
无继承人或继承人放弃权利：
- 如果原告没有继承人，或者继承人明确表示放弃诉讼权利，那么法院将裁定终结诉讼。在这种情况下，上诉程序也将无法继续进行。
诉讼标的人身属性：
- 如果诉讼标的具有特定人身属性（如解除婚姻关系诉讼等），那么这类诉讼权利义务不能继承，诉讼会终结。继承人不能继续此类诉讼，包括上诉。
五、实际操作建议
及时与法院沟通：
- 继承人应及时与法院沟通，了解诉讼中止的具体情况和后续处理流程。
准备相关材料：
- 继承人应准备齐全的身份和继承关系证明材料，以便在需要时提交给法院。
咨询专业律师：
- 由于诉讼程序复杂且涉及法律专业知识，继承人可以咨询专业律师以获取更详细的法律建议和指导。
综上所述，当原告在诉讼过程中死亡且法院判决承担责任时，如果继承人选择上诉，他们应按照法律规定和法院程序来处理上诉事宜。这包括及时表明继承意愿、提交相关材料、作为上诉主体提起上诉等。同时，也需要考虑特殊情况的考虑和实际操作建议。