欠款多家机构，如果其中一家起诉并申请冻结银行卡，那么欠款人的银行卡有可能会被冻结。以下是对此问题的详细分析：
一. 冻结银行卡的法律依据
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，法院在执行过程中可以依法对被执行人的财产采取查封、扣押、冻结等措施，以确保债权人的合法权益得到保障。这意味着，如果债权人申请了财产保全，或者欠款人根据生效的法律判决文书依然拒不履行其义务，那么欠款人的银行卡就可能会被法院冻结。
二. 冻结银行卡的后果
资金流动受限：银行卡被冻结后，账户内的资金流动将受到限制，欠款人无法正常使用该卡进行取款、转账或消费等交易活动，直至冻结解除。
信用记录受损：银行卡被冻结往往意味着欠款人存在未履行的债务或涉及法律纠纷，这将对欠款人的信用记录造成负面影响。在信用社会日益重要的今天，信用记录的受损可能会给欠款人带来诸多不便，如影响贷款申请、信用卡办理等金融服务的获取。
可能面临强制执行：如果欠款人未能在履行期内履行法院判决或裁定所确定的义务，债权人可以向法院申请强制执行。此时，法院有权依法对欠款人的财产进行拍卖、变卖等处理，以所得价款清偿债务。因此，银行卡被冻结后，欠款人有可能面临财产被强制执行的风险。
法律责任：如果欠款人故意逃避债务或拒不履行法院判决，情节严重的情况下，可能会构成拒不执行判决、裁定罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金。
三. 应对策略
了解冻结原因：欠款人首先应向银行了解银行卡被冻结的具体原因，并确认是否是因为涉及民事诉讼案件，法院根据原告的申请采取了保全措施。
准备应诉材料：如果确实涉及诉讼，欠款人应积极准备应诉材料，包括答辩状和相关证据，以证明自己的清白或减轻责任。如有必要，可以聘请律师协助进行应诉。
寻求解冻方法：如果欠款人认为冻结有误，可以向法院提出申请，要求解除冻结。如果确实存在未履行的债务，可以与原告协商达成和解，通过偿还债务来解除银行卡的冻结。
我的观点是，面对欠款多家机构且其中一家已起诉并申请冻结银行卡的情况，欠款人应尽快了解冻结原因、准备应诉材料，并积极寻求解冻方法。同时，欠款人应认识到逃避债务或拒不履行法院判决的严重后果，并尽快履行还款义务或与债权人协商解决纠纷，以避免不必要的法律风险和不良后果。如有进一步需要，您可以继续咨询我。