结论前置：没有签署合同但工作满一个月，劳动者在特定情形下可以直接离职并要求用人单位支付双倍工资及经济补偿；在非特定情形下，应提前通知用人单位并保留好相关证据。

详细分析

一、可以直接离职的情形

根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十八条的规定，若用人单位存在以下情形之一，劳动者可以解除劳动合同，且无需提前通知用人单位：

1. 未及时足额支付劳动报酬：例如，用人单位未按约定时间支付工资，且无合理理由，劳动者有权直接离职。
2. 未依法为劳动者缴纳社会保险费：若用人单位超过一个月未与劳动者签订劳动合同，且未为其缴纳社保，劳动者同样可以直接离职。

法律后果：在上述情形下，劳动者不仅可以直接离职，还可以依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，要求用人单位支付相应的经济补偿，并有权要求用人单位支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额。

二、需要提前通知用人单位的离职情形

若用人单位不存在上述《中华人民共和国劳动合同法》第三十八条规定的情形，仅因超过一个月未与劳动者签订书面劳动合同，劳动者欲解除劳动合同的，应当提前三十日以书面形式通知用人单位（试用期内则提前三日通知）。然而，这并不影响劳动者依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，要求用人单位从第二个月起每月支付二倍的工资。

具体操作：

• 保留证据：无论哪种离职情形，劳动者都应妥善保留能证明劳动关系的证据，如工作证、考勤记录、工资发放记录等，以便在需要时维护自己的合法权益。
• 提前通知：以书面形式提前通知用人单位，明确离职意愿和离职时间，避免后续纠纷。

三、注意事项与建议

1. 协商优先：尽管法律赋予了劳动者相应的权利，但在实际操作中，建议劳动者首先与用人单位进行协商，以和平方式解决纠纷，避免不必要的法律诉讼。
2. 法律援助：若协商不成，劳动者可寻求法律援助或向劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请，以法律途径维护自己的合法权益。
3. 经济补偿与双倍工资：劳动者在离职时，有权要求用人单位支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额。若因用人单位存在违法行为（如未按时支付劳动报酬、未缴纳社保等）而离职，劳动者还有权要求获得经济补偿。

举例说明

假设小张在一家公司工作满一个月，但公司一直未与其签订劳动合同，也未为其缴纳社保。此时，小张有权直接离职，并要求公司支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额以及经济补偿。若公司拒绝支付，小张可以向劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请，维护自己的合法权益。

总结与建议

没有签署合同但工作满一个月，劳动者在特定情形下可以直接离职并要求用人单位支付双倍工资及经济补偿。在非特定情形下，应提前通知用人单位并保留好相关证据。劳动者应了解自己的权利和义务，根据实际情况选择合适的离职方式，并确保自身权益得到妥善保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。