甲方上诉后可以私下和乙方进行调解并撤诉。以下是对这一问题的详细分析：
一、法律背景与依据
在民事诉讼中，调解是一种重要的纠纷解决方式。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人可以在诉讼过程中自行和解，也可以请求人民法院进行调解。这意味着，在上诉阶段，甲方和乙方同样有权进行私下调解，并达成和解协议。
二、调解与撤诉的流程
私下调解：
- 甲方和乙方可以在上诉期间自行协商，就纠纷的解决达成一致意见。
- 调解过程中，双方可以就赔偿金额、履行方式等具体事项进行协商，并形成书面调解协议。
撤诉申请：
- 在达成调解协议后，甲方可以向人民法院提出撤诉申请。
- 撤诉申请应当明确表示甲方愿意放弃上诉请求，并请求法院终结诉讼程序。
法院审查与裁定：
- 人民法院在收到甲方的撤诉申请后，会进行审查。
- 如果审查认为撤诉申请符合法律规定，且不损害国家利益、社会公共利益和他人合法权益，法院会裁定准许撤诉。
三、调解与撤诉的注意事项
调解协议的合法性：
- 调解协议应当符合法律规定，不得违反法律、行政法规的强制性规定。
- 调解协议的内容应当明确、具体，具有可执行性。
撤诉的自愿性：
- 甲方提出撤诉申请应当是自愿的，不得受到任何胁迫或欺诈。
- 如果甲方在撤诉后反悔，通常不能再以同一事实和理由重新起诉。
法院的审查权：
- 法院对撤诉申请有审查权，如果认为撤诉申请不符合法律规定或可能损害他人利益，法院可以不予准许。
四、可能的法律后果
诉讼终结：
- 如果法院准许甲方的撤诉申请，诉讼程序将终结，双方应当按照调解协议履行各自的义务。
调解协议的执行：
- 调解协议具有法律约束力，双方应当自觉履行。如果一方不履行调解协议，另一方可以向人民法院申请强制执行。
再次起诉的限制：
- 甲方在撤诉后，通常不能再以同一事实和理由重新起诉。但是，如果甲方有新的证据或事实支持其诉讼请求，可以依法重新提起诉讼。
建议：在进行私下调解和撤诉时，甲方和乙方应当充分了解相关法律规定和程序要求，确保调解协议的合法性和有效性。同时，双方也可以考虑寻求专业律师的帮助，以更好地维护自己的合法权益。如果有任何法律问题，可以直接向我咨询。