法律援助案件确实应由法律援助机构统一受理、审查、指派和监督。这一制度设计体现了法律援助的规范化、制度化特点，确保了法律援助服务的质量和效率。以下是对这一问题的详细分析：

一、统一受理

法律援助机构作为提供法律援助服务的专门机构，负责统一受理公民的法律援助申请。这一环节确保了法律援助服务的入口统一，便于管理和监督。公民在遇到法律问题且符合法律援助条件时，可以向当地法律援助机构提出申请，由机构进行统一处理。

二、统一审查

法律援助机构在受理申请后，会对申请人的资格和申请事项进行统一审查。审查内容包括申请人的经济状况、申请事项是否属于法律援助范围等。这一环节确保了法律援助资源的合理分配，避免了资源的浪费和滥用。例如，对于经济困难且申请事项符合法律援助范围的公民，机构会给予法律援助；对于不符合条件的申请，机构会向申请人说明理由并引导其到相关部门申请解决。

三、统一指派

经过审查后，法律援助机构会统一指派律师或法律工作者承办符合条件的法律援助案件。这一环节确保了法律援助服务的专业性和针对性。机构会根据案件的性质和复杂程度，指派具有相应专业知识和经验的律师或法律工作者承办案件，以提高法律援助服务的质量和效果。

四、统一监督

法律援助机构还会对法律援助案件进行统一监督。监督内容包括案件的办理进度、办案质量等。机构会通过案卷检查、回访受援人等方式对法律援助案件进行质量监督，确保法律援助服务的质量和效果。同时，服务质量与法律援助案件办案补贴挂钩，对于在法律援助案件质量评查中不合格的案件，机构会减少或不予发放补贴，以激励律师和法律工作者提高办案质量。

法律依据与制度保障

“四统一”制度（即统一受理、统一审查、统一指派、统一监督）是建立和实施法律援助制度的基本程序要求。这一制度在相关法律法规中得到了明确规定，为法律援助工作的规范化、制度化提供了有力保障。

总结与建议：

法律援助案件由法律援助机构统一受理、审查、指派和监督，是确保法律援助服务质量和效率的重要制度设计。如果您在法律援助方面遇到问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。作为专业律师，我将为您提供全面、准确的法律咨询和辩护服务。