政府欠农民工工资，应由政府相关部门负责解决，并非由特定部门“发放”工资。具体处理途径如下：

1. 向劳动监察部门投诉：农民工可以前往当地劳动监察大队，详细陈述工资被拖欠的情况，并提交相关证据。劳动监察部门将依法对涉及拖欠工资的政府相关项目实施单位进行调查，并责令其支付拖欠的工资。

2. 寻求人力资源和社会保障局的帮助：作为劳动监察部门的上级主管单位，人社局在解决工资拖欠问题中具有更高的协调和处理能力。农民工可以直接向人社局反映情况，以获得更有效的解决方案。

3. 涉及政府投资项目的特殊途径：如果农民工是在政府投资的建设工程项目中被拖欠工资，他们可以向建设行政主管部门（如住建局）投诉。建设行政主管部门有责任对项目建设单位和施工企业进行监管，并督促其解决工资拖欠问题。

4. 利用法律手段维权：在行政途径无法有效解决问题的情况下，农民工可以通过法律手段来维护自己的权益。他们可以向当地人民法院申请支付令，或者提起劳动仲裁和诉讼，要求政府相关部门或用人单位支付拖欠的工资及相应的赔偿金。

综上所述，政府欠农民工工资并非由特定部门“发放”，而是需要农民工通过合法途径向相关部门投诉、申请或诉讼，以维护自己的合法权益。我建议农民工在面临此类问题时，应积极寻求法律帮助，并保留好相关证据，以便更有效地维护自己的权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。