针对您提出的外包员工合同到期不续签，但员工仍然留在用工单位，如何要求经济补偿金的问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、法律性质与基本原则
首先，我们需要明确的是，根据《劳动合同法》的规定，劳动合同期满未续签即行终止。对于外包员工而言，通常与劳务派遣公司（即外包单位）签订劳动合同。当合同到期不续签时，这属于法定终止情形。但关键在于，除非存在特定例外（如派遣单位或用工单位降低原合同条件且员工拒绝续签），否则用人单位（在此为外包单位）在合同自然到期不续签的情况下，一般并不直接负有支付经济补偿金的义务。不过，若因用工单位原因（如降低待遇）导致员工拒签，则派遣单位需依法支付补偿。
二、经济补偿金的支付条件与计算
支付条件：
- 除非用人单位（外包单位）维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者（外包员工）不同意续订，否则在固定期限劳动合同期满终止时，用人单位应支付经济补偿。
- 在您描述的场景中，若合同到期不续签并非因员工拒绝提高或维持条件的续签，且员工仍留在用工单位（这可能涉及用工单位与外包单位之间的协议调整，但不影响员工与外包单位的合同关系），则员工有权要求经济补偿。
计算方式：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
三、实际操作步骤
与外包单位沟通：
- 首先，您应与外包单位进行沟通，明确合同到期不续签的事实，并表达您要求经济补偿的意愿。
- 要求外包单位出具终止劳动合同的证明，并办理相关档案转移手续。
收集证据：
- 保存好与外包单位的劳动合同、工资条、考勤记录等证据，以备后续可能的劳动仲裁或诉讼使用。
申请劳动仲裁：
- 若与外包单位沟通无果，您可以向劳动合同履行地或外包单位所在地的劳动仲裁委员会提交仲裁申请。
- 仲裁申请应在知道权益受损之日起1年内提出。
诉讼途径：
- 若对仲裁结果不服，您可以向法院提起诉讼。
- 诉讼过程中，需提供充分的证据来支持您的诉求。
四、特别注意事项
- 员工仍留在用工单位的情况：这可能涉及用工单位与外包单位之间的新协议或调整。但无论如何，这并不影响您与外包单位之间劳动合同的法律关系。您仍有权根据劳动合同法的规定要求经济补偿。
- 避免口头协议：在整个过程中，务必确保所有沟通和协议都以书面形式进行，以避免可能的纠纷。
五、建议与总结
- 定期关注合同到期时间：作为员工，您应定期关注自己的劳动合同到期时间，并主动询问外包单位的续签意向。
- 保留证据：在工作过程中，定期保存工作邮件、加班审批单等证据，以备不时之需。
- 寻求专业帮助：若在处理过程中遇到困难或不确定如何操作，建议寻求专业律师或劳动仲裁机构的帮助。
综上所述，当外包员工合同到期不续签时，若非因员工拒绝提高或维持条件的续签，您有权要求外包单位支付经济补偿金。在操作过程中，请务必遵循法律程序，保留好相关证据，并在必要时寻求专业帮助。