针对食品标签存在虚假广告的问题，我国法律体系设定了全面且严格的处罚措施，旨在保护消费者权益并维护市场秩序。以下是对此问题的详细解答：
一、行政处罚措施
责令停止违法行为：
- 监管部门一旦发现食品标签存在虚假广告，会立即责令相关生产经营者停止这一违法行为，以防止误导更多消费者。
罚款：
- 根据《中华人民共和国食品安全法》的相关规定，若货值金额不足一万元，将处以五千元以上五万元以下的罚款；货值金额一万元以上的，则处以货值金额五倍以上十倍以下的罚款。
- 若虚假广告行为同时构成不正当竞争，依据《中华人民共和国反不正当竞争法》，还可能面临二十万元以上一百万元以下的罚款；情节特别严重时，罚款额度可提升至一百万元以上二百万元以下。
没收违法所得：
- 监管部门有权没收通过虚假广告获得的违法所得，以剥夺违法者的不正当利益。
吊销许可证与责令停产停业：
- 对于严重违法行为，监管部门可能吊销其食品生产经营许可证，并责令其停产停业，以彻底消除其继续违法的可能性。
公示处罚信息：
- 监管部门会将违法行为及处罚结果予以公布，增加透明度，对其他潜在违法者起到警示作用。
二、民事赔偿措施
- 赔偿消费者损失：
- 若消费者因食品标签的虚假广告受到损害，有权向生产经营者要求赔偿损失。根据《中华人民共和国食品安全法》的相关规定，消费者除要求赔偿损失外，还可以要求支付价款十倍或者损失三倍的赔偿金；增加赔偿的金额不足一千元的，为一千元。但需注意，若食品标签的瑕疵不影响食品安全且不会对消费者造成误导，则消费者无权要求惩罚性赔偿。
三、刑事责任追究
- 构成犯罪时的刑事处罚：
- 若食品标签的虚假广告行为情节严重，造成严重后果，构成犯罪的，将依照《中华人民共和国刑法》的相关规定追究刑事责任。例如，可能构成生产、销售伪劣产品罪，销售金额达到一定数额时，将面临有期徒刑、拘役及罚金等刑事处罚。
- 广告主、广告经营者、广告发布者若利用广告对商品作虚假宣传，情节严重的，也可能面临刑事处罚。
四、其他责任与措施
- 列入严重违法失信名单：
- 根据《市场监督管理严重违法失信名单管理办法》，若食品标签虚假广告行为符合严重违法失信情形，如性质恶劣、情节严重、社会危害较大，将被列入严重违法失信名单，并通过国家企业信用信息公示系统公示。同时，将实施相应管理措施，如限制相关责任人担任企业法定代表人等。
总结与建议：
食品标签存在虚假广告将面临严格的法律处罚，包括行政处罚、民事赔偿以及可能的刑事责任。作为生产经营者，应严格遵守相关法律法规，确保食品标签的真实性和准确性，以维护消费者权益和市场秩序。若您遇到此类问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将为您提供专业、全面的法律服务。