管辖权异议支持后，确实存在上诉期。具体来说，根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对管辖权异议裁定不服的，有权在裁定书送达之日起十日内向上一级人民法院提起上诉。以下是对这一问题的详细分析：

1. 上诉期限的具体规定：

   • 当事人对管辖权异议裁定不服的，上诉期限为裁定书送达之日起的十日内。这里的“十日”指的是自然日，包括工作日和休息日。但期间届满的最后一日若是节假日，则以节假日后的第一日为期间届满的日期。

2. 上诉期限的计算起始点：

   • 上诉期限的计算从当事人实际收到管辖权异议裁定书的次日开始起算。例如，如果当事人在5月1日收到裁定书，那么上诉期将从5月2日开始计算，并在接下来的十个自然日内有效。

3. 提出管辖权异议的时机与审查程序：

   • 当事人若对管辖权有异议，应当在提交答辩状期间提出。人民法院将对当事人提出的异议进行审查，并根据审查结果作出相应裁定。若异议成立，则裁定将案件移送有管辖权的人民法院；若异议不成立，则裁定驳回。

4. 上诉期限的意义与后果：

   • 设置管辖权异议上诉期限，一方面保障了当事人的诉讼权利，使其能够在合理的时间内对管辖权裁定表达异议，维护自己的合法权益；另一方面，也保证了诉讼程序的正常进行和效率，避免了因当事人无限期拖延诉讼而导致的司法资源浪费。
   • 若当事人未在规定的上诉期限内提起上诉，或者超出上诉期未上诉，那么该管辖权异议裁定即发生法律效力。这意味着案件将按照原裁定确定的管辖法院继续进行审理，当事人将失去通过上诉改变管辖法院的机会。

综上所述，管辖权异议支持后，当事人确实享有上诉权，但必须在规定的上诉期限内行使这一权利。如有任何关于管辖权异议或上诉期限的法律问题，可以直接向我咨询。