公司开除员工在以下法定情形下无需支付补偿：

1. 员工在试用期被证明不符合录用条件：

   • 公司需提供充分证据，如招聘时明确的录用条件、员工表现与录用条件不符的具体材料等，来证明员工在试用期内确实不符合录用条件。这种情况下，公司开除员工无需支付补偿。

2. 员工严重违反用人单位的规章制度：

   • 规章制度需合法有效，经过民主程序制定并向员工公示。员工违反规章制度的程度需达到严重程度，如多次旷工、泄露机密等。这种情况下，公司开除员工同样无需支付补偿。

3. 员工严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害：

   • “重大损害”的界定通常根据公司内部规定和实际损失情况确定。若员工因严重失职或营私舞弊给公司带来重大损失，公司有权开除员工且无需支付补偿。

4. 员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正：

   • 若员工在保持与本公司劳动关系的同时，又与其他用人单位建立劳动关系，且这种行为对完成本单位的工作任务造成了严重影响，或者经公司提出后仍拒不改正，公司有权开除员工且无需支付补偿。

5. 员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，致使劳动合同无效：

   • 若员工通过欺诈、胁迫等手段与公司订立或变更劳动合同，导致劳动合同无效，公司有权开除员工且无需支付补偿。

6. 员工被依法追究刑事责任：

   • 若员工因犯罪行为被依法追究刑事责任，公司有权开除员工且无需支付补偿。

法律建议：

• 公司在作出开除决定时，必须有充分的事实依据和合法程序。例如，需有明确的证据证明员工的过错行为，并遵循法定的解除程序等。否则，公司可能面临法律风险，如被员工提起劳动仲裁或诉讼，要求支付经济补偿或赔偿金。

• 若员工对公司的开除决定有异议，可通过与公司协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等途径来维护自己的合法权益。

可能的法律后果：

• 若公司违法解除劳动合同，如无正当理由随意开除员工或者解除程序不合法，公司需支付赔偿金。赔偿金标准通常是经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资。

• 若公司因开除员工而引发劳动争议，可能面临劳动仲裁机构的裁决或法院的判决，要求公司支付经济补偿、赔偿金或承担其他法律责任。

综上所述，公司在特定法定情形下开除员工无需支付补偿，但必须确保有充分的事实依据和合法程序。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。