针对您提出的“配偶出轨，我们该以什么名义起诉”这一问题，我结合相关法律知识和实践经验，为您详细分析如下：
若想结束婚姻关系：
- 以夫妻感情破裂为由提起离婚诉讼：在诉讼过程中，您需要提交配偶出轨的证据，以证明其存在过错。根据《民法典》的相关规定，法院在分割夫妻共同财产时，会倾向于照顾无过错方。这意味着，在财产分配上，您可能会获得更有利的处理结果。
- 同时主张损害赔偿：如果配偶的出轨行为给您造成了精神痛苦或物质损失，您可以在离婚诉讼中同时要求对方承担损害赔偿责任。这包括物质损害赔偿（如因调查出轨事实产生的合理费用等）和精神损害赔偿（用于抚慰您所遭受的精神痛楚）。
若不想结束婚姻关系，但想索赔：
- 以配偶权被侵害为由提起损害赔偿之诉：在这种情况下，您需要提供足够的证据来证明配偶的出轨行为严重伤害到了您，且这种伤害达到了需要法律介入的程度。不过，需要注意的是，这种索赔方式在司法实践中可能相对较难获得法院的支持，因为法院通常会倾向于先解决婚姻关系问题，再考虑损害赔偿。
在起诉过程中，您需要注意以下几点：
- 收集并保存好相关证据：如出轨的聊天记录、照片、视频、开房记录等，这些证据将直接支持您的主张。
- 遵循法定程序：起诉过程需要遵循严格的法律程序和要求，包括提交起诉状、参加庭审等。
- 保持冷静和理性：在处理此类问题时，保持冷静和理性至关重要。避免在情绪激动下做出不利于自己的行为或决定。
最后，我想强调的是：每个案件都有其独特性和复杂性，因此上述分析仅供参考。在实际操作中，您需要根据自己的具体情况和法律需求来制定合适的诉讼策略。如果您有任何进一步的疑问或需要专业的法律帮助，请随时向我咨询。作为专注于婚姻家庭领域的律师，我将竭诚为您提供最专业、最全面的法律服务。