关于刑事案件卷宗中的视频证据，律师在审判阶段是否可以刻录的问题，以下是我的详细解答：

1. 律师在审判阶段无权自行刻录视频证据：

   • 根据最高检法律政策研究室《关于辩护人要求查阅、复制讯问录音、录像如何处理的答复》，案卷材料包括案件的诉讼文书和证据材料。而讯问犯罪嫌疑人录音、录像并不属于诉讼文书和证据材料，而是案卷材料之外的其他与案件有关的材料。因此，辩护人未经许可，无权查阅、复制这些视频证据。
   • 在人民法院审判阶段，虽然人民法院可以调取讯问犯罪嫌疑人的录音、录像，但人民检察院应当将讯问录音、录像移送人民法院，且辩护人无权自行查阅、复制。必要时，公诉人可以提请法庭当庭播放相关时段的录音、录像。

2. 律师在特定情况下可以查看视频证据：

   • 在人民检察院审查起诉阶段，如果辩护人对讯问活动合法性提出异议，申请排除以非法方法收集的证据，并提供相关线索或者材料的，可以在人民检察院查看（听）相关的录音、录像。但这一查看行为也受到严格限制，且不能直接复制。
   • 对涉及国家秘密、商业秘密、个人隐私或者其他犯罪线索的内容，人民检察院可以对讯问录音、录像的相关内容作技术处理或者要求辩护人保密。

3. 律师的建议与行动：

   • 作为律师，在处理刑事案件时，如果需要查看或了解视频证据的内容，应当通过合法途径向人民检察院或人民法院提出申请，并在得到许可后进行查看。
   • 如果发现视频证据中存在可能影响案件公正审理的问题，如非法取证、刑讯逼供等，律师应当及时向法庭提出，并要求排除相关非法证据。

4. 法律背景与后果：

   • 视频证据作为刑事案件中的重要证据之一，其合法性和真实性对于案件的公正审理至关重要。因此，法律对于视频证据的查阅、复制和使用都进行了严格规定。
   • 如果律师违反法律规定，擅自查阅、复制或使用视频证据，可能会面临法律责任，甚至影响案件的公正审理和律师的职业声誉。

综上所述，律师在审判阶段无权自行刻录刑事案件卷宗中的视频证据。如果需要查看或了解视频证据的内容，应当通过合法途径向人民检察院或人民法院提出申请，并在得到许可后进行查看。如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。