雇佣工在下班途中基础病突发死亡，在一般情况下不被认定为工伤，但存在特定情形和满足一定条件时，有可能被认定为工伤。以下是对这一问题的详细分析：

1. 一般原则：

   • 根据《工伤保险条例》及相关法律法规，工伤认定通常要求伤害与工作存在直接关联性，且多发生在工作时间和工作场所内。由于下班途中已脱离工作状态，因此基础病突发导致的死亡在常规情况下难以直接与工作因素挂钩，故一般不认定为工伤。

2. 特殊情况及认定条件：

   • 与工作紧密相关的疾病：若职工能证明突发疾病是因长期从事特定工作导致，如工作劳累、压力等直接引发，并且该疾病在48小时之内导致死亡或经抢救无效死亡，则可能被视为工伤。但这种情况较为罕见，且需要充分的医学证据和相关证明材料支持。
   • 非本人主要责任的交通事故：在上下班途中，若职工受到非本人主要责任的交通事故伤害并导致死亡，这符合《工伤保险条例》中关于上下班途中受到事故伤害认定工伤的规定，应被认定为工伤。但此情况与基础病突发死亡无关，仅作为工伤认定的另一种情形提及。
   • 合理时间与路线：虽然这一条件在交通事故导致的工伤认定中较为重要，但在基础病突发死亡的情境下，它并不直接决定工伤的认定。然而，如果职工在下班途中因处理与工作相关的紧急事务而偏离常规路线，并在此过程中突发疾病死亡，这可能为工伤认定提供一定的支持，但具体情况仍需根据证据和当地劳动保障部门的认定结果为准。

3. 注意事项：

   • 各地在具体执行和认定时可能存在差异，具体情况需依据实际调查和当地劳动保障部门的认定结果为准。
   • 疾病的诊断与工作的关联性需要医学证据和相关证明材料支持，以确保认定的准确性和公正性。

4. 建议：

   • 如果家属对是否属于工伤存在争议，可向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请，由其根据具体情况和相关证据进行调查核实，并作出是否认定为工伤的决定。
   • 在处理此类事件时，建议家属及时收集并保留相关证据，如医疗记录、工作证明、同事证言等，以便在需要时提供支持。

综上所述，雇佣工在下班途中基础病突发死亡是否算工伤，并非一概而论，而是需要根据具体情况进行综合分析。若符合上述特殊情况及认定条件，则有可能被认定为工伤；否则，在一般情况下不被视为工伤。最终认定结果应由劳动保障行政部门根据相关法律法规和证据材料进行综合判断。如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。