首先，我们需要明确车辆所有权的转移以及委托提档的法律效力，来判断购买这台车是否合法。
结论前置：
车辆所有权的转移需要依法进行，如果母亲的孩子（即原车主）已经合法地将车辆转卖，并且母亲作为车辆的原所有人或合法代理人，委托他人进行提档操作，且该委托行为合法有效，那么购买这台车在法律上是可行的，前提是购买者需要确保整个交易过程合法合规，包括但不限于签订有效的买卖合同、完成车辆过户手续等。
详细分析：
车辆所有权转移：
- 根据《民法典》的相关规定，动产物权的设立和转让，自交付时发生效力，但是法律另有规定的除外。对于车辆这类动产，其所有权的转移通常以交付为标志。
- 如果母亲的孩子已经通过合法方式（如签订买卖合同、支付对价等）将车辆转卖给购买者，并且车辆已经实际交付，那么车辆的所有权就已经转移给了购买者。
委托提档的法律效力：
- 母亲作为车辆的原所有人或合法代理人，有权委托他人代为办理车辆提档等相关手续。
- 委托行为需要依法进行，通常需要通过书面形式（如委托书）明确委托事项、权限和期限等，并且需要由委托人（即母亲）亲自签名或盖章。
- 如果委托行为合法有效，那么被委托人就有权代为办理相关手续，包括提档等。
购买者的注意事项：
- 购买者在购买车辆时，需要确保整个交易过程合法合规，包括查看车辆的权属证明、签订有效的买卖合同、完成车辆过户手续等。
- 如果购买者发现车辆存在权属争议或其他法律问题，应及时咨询专业律师或相关机构，以避免潜在的法律风险。
综上所述，如果母亲的孩子已经合法地将车辆转卖，并且母亲作为车辆的原所有人或合法代理人委托他人进行提档操作且该委托行为合法有效，那么购买这台车在法律上是可行的。但购买者需要确保整个交易过程合法合规，并咨询专业律师或相关机构以获取更具体的法律建议。